En este trabajo estudiaremos algunas nociones de Cohomología de deRham, una herramienta útil para distinguir y hasta cierto punto clasificar superficies del espacio euclidiano Rn, asociándoles un objeto algebraico, en este caso un espacio vectorial. Los resultados principales que probaremos son el teorema de Invarianza por Homotop�as, el teorema de Dualidad de Alexander y el Teorema de Jordan-Brouwer. Con este fin introduciremos brevemente algunas nociones de superficies en Rn, formas diferenciales, homotopía y mencionaremos algunas herramientas algebraicas que utilizaremos para luego estudiar la Cohomología de deRham propiamente dicha.
�::: Los conjuntos de Julia y Mandelbrot. [Ismael]
Los conjuntos de Julia y Mandelbrot son frecuentemente utilizados por su vistosa forma y su aparente complejidad. Estos conjuntos tienen una definición matemática que acá no se menciona. Aquí les presento una descripción de estos conjuntos, y algunas de las técnicas utilizadas para producirlos.
�::: Prueba visual de la suma de los cuadrados de los naturales.
Una aproximación geométrica puede mostrarnos cómo pudo ser concebida la fórmula
�::: Miguel de Guzmán Ozámiz: Impactos del análisis armónico
Miguel de Guzmán da una apasionante charla sobre el
análisis armónico. Su lectura debería formar
parte de los materiales sugeridos a los estudiantes de ciencias,
y más ampliamente, a quienes puedan sentir entusiasmo e
interés por el conocimiento de la naturaleza.
No podemos resistir a la tentación de transcribir un trozo
del llamado "poema matemático" de Fourier:
Las ecuaciones analíticas no se restringen a las
propiedades de las figuras y a las que son objeto de la
mecánica racional; se extienden a todos los
fenómenos generales. No puede haber un lenguaje más
universal ni más simple, más exento de errores y de
oscuridades, es decir más digno de expresar las relaciones
invariables de los seres naturales. Considerado bajo este punto
de vista, el análisis matemático es tan extenso
como la naturaleza misma; define todas las relaciones sensibles,
mide el tiempo, los espacios, las fuerzas, las temperaturas...su
atributo principal es la claridad; no tiene en absoluto signos
para expresar nociones confusas. Relaciona los fenómenos
más diversos y descubre las analogías secretas que
los une. Si la materia se nos evade, por su extrema tenuidad,
como la del aire y de la luz, si los cuerpos están
situados lejos de nosotros, en la inmensidad del espacio, si el
hombre quiere conocer el espectáculo de los cielos en
épocas sucesivas que un gran número de siglos
separa, si las acciones de la gravedad y del calor se ejercen en
el interior del globo sólido a profundidades que nos
serán siempre inaccesibles, el análisis
matemático puede, con todo, dominar las leyes de estos
fenómenos. Él nos los hace presentes y parece ser
una facultad de la razón humana destinada a suplir la
brevedad de la vida y la imperfección de los sentidos; y,
lo que es aún más notable, sigue el mismo camino en
el estudio de todos los fenómenos; los interpreta con el
mismo lenguaje como para atestiguar la unidad y la simplicidad
del plan del universo, y hacer aún más patente este
orden inmutable que preside todas las causas naturales.
�::: Mathematical Problems by David Hilbert
En 1900, se llevó a cabo en
París el Congreso Internacional de Matemáticas,
donde David Hilbert pronunció una conferencia denominada
simplemente Problemas Matemáticos. Dicha
exposición versó sobre una lista de 23 cuestiones
pendientes de resolución para la época, que
delinearon a grandes rasgos los senderos que habrían de
fijar el desarrollo de las matemáticas durante el resto
del siglo XX. Con el correr de los años, se resolvieron
todos los problemas planteados, salvo tres. Ellos son el sexto,
"Tratamiento matemático de los axiomas de la
física",el octavo, "Algunos problemas referentes a
números primos", y el decimosexto, "El
problema de la topología de las curvas y superficies
algebraicas". Aún permanecen abiertos, como un reto a
la imaginación de los matemáticos del presente y
del futuro. La lista elaborada por Hilbert comienza con la
cuestión lógica y conjuntista asociada con la
llamada hipótesis del continuo, que fuera resuelta de
manera definitiva por el estadounidense Paul Cohen hacia
1965.Véase también Les 23 problèmes de Hilbert.
El motivo de esta versión:Entre los tantos sitios que publican los 23 problemas matemáticos de Hilbert, mencionamos los siguientes.
http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/hilbertprobleme.htmlhttp://www.ams.org/bull/2000-37-04/S0273-0979-00-00881-8/S0273-0979-00-00881-8.pdf
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/
Podríamos haber hecho los enlaces apropiados, pero hemos encontrado fórmulas con errores; posiblemente la publicación inicial es la que se encuentra en alemán. Allí ya hay errores, unos cuantos corregidos en la versión de la AMS, mucho más cuidada que la primera. Pero a su vez esta última muestra algunos errores que la anterior no tiene. La de la Clark University es otra versión a tener en cuenta. Quien encuentre algún error no tiene más que descargar la versión .doc y enviarnos allí las observaciones.
En esta segunda parte, se desarrollan
algunos conceptos fundamentales de la teoría de juegos,
que completan la discusión ya iniciada anteriormente.
Mediante el análisis de algunos ejemplos sencillos, se
estudian los conceptos de forma normal, suma cero,
estrategia pura y mixta, así también
como las consecuencias que se desprenden de la idea de punto
de equilibrio. El artículo pretende remarcar el
contexto estadístico de la teoría, y por lo tanto
señala los resultados que los jugadores o antagonistas
pueden esperar obtener, únicamente a partir de su
aplicación constante o pertinaz a largo plazo.La pregunta acerca de si Pi es o no
racional se planteó en un tiempo bastante lejano,
probablemente tan pronto como se descubrió que
había números que no eran racionales. Pero la
cuestión distaba de ser evidente. Arquímedes
probó que el valor de Pi está entre 22/7 y 223/71.
El promedio de estas 2 fracciones, 3123/994, tiene un error menor
que 0.0003. El antipático 3.1416 = 3927/1250 tiene un
error de menos de 0,00001. Por su parte Tsu Chu´ung-Chih,
astrónomo chino del siglo V, halló la
fracción 355/113 que dista de Pi en menos de 0,0000003.
Por otro lado en 1673 Wilhelm von Leibniz demostró que
�::: La constante de Euler - Mascheroni [William Dunham]
Ya tenía preparado un
pequeño artículo sobre la constante de Euler -
Mascheroni, cuando mi amigo Leo Aiello me regaló� "Euler
The Master of Us All", de William Dunham . Como es de imaginar,
me ha gustado más lo que ha hecho Dunham, de modo que
renuncio a lo mío y pongo a disposición de los
lectores estas líneas del capítulo 2, con la
esperanza de que algunos puedan conseguirse este interesante
librito publicado por The Mathematical Association of
America.Rectificación: Bastante después de escribir esto, supe que hay una traducción al español - Editorial Nivola - con prólogo y notas de Antonio Pérez Sanz.
�:::� Gratis software de matemática
El gráfico de la exponencial y
sus primeras aproximaciones de Taylor, es una muestra de lo que
en segundos hace Winplot, una de las aplicaciones
gratuitas realizadas por Richard
Parris. Hay versión en castellano,actualizada al
01/02/05. Se puede descargar también un instructivo en
portugués del curioso sitio de Carlos
César de Araújo. Hay también help en inglés.
�::: Series numéricas
Una introducción elemental al
concepto de sumabilidad de una sucesión de números
reales.�::: Probabilidades geométricas
La definición clásica de
probabilidad de un suceso determinado, debida a Laplace, asigna
al mismo un número racional entre 0 y 1. Habitualmente,
este número se determina por procedimientos combinatorios,
y establece el cociente entre la totalidad de los casos que
favorecen la producción del suceso analizado y la
totalidad de los casos posibles asociados con el mismo suceso. El
concepto de probabilidad geométrica generaliza esta
definición, incluyéndola dentro del alcance de la
llamada teoría de la medida, donde la probabilidad de un
suceso puede estar dada ahora por un número real. Esto
permite extender los resultados de la teoría de la
probabilidad a un conjunto muy grande de problemas
teóricos y prácticos, que por su naturaleza son
inatacables con los métodos provistos por la
definición de Laplace.�::: El problema de los taxis y el circulante
Estimar la población de taxis de
una ciudad es una tarea que se asemeja en mucho a la
estimación del circulante de un país. Estos
procedimientos, en donde se usan determinadas técnicas de
muestreo, heredan su precisión de un resultado muy
importante de la estadística matemática: el teorema
central del límite.�::: Jugando con la teoría de los juegos (1)
La teoría de los juegos se aplica
en cualquier situación donde hay un determinado conflicto
de intereses entre dos o más inteligencias
antagónicas. Este artículo pretende dar una
introducción elemental e informal sobre el tema.�::: Prueba visual para el seno de la suma
Una demostración visual basada en
suma de áreas, para la conocida fórmula sen (a + b)
= sen a cos b + cos a sen b.�::: Tres problemas fáciles con una misma estrategia
La misma estrategia empleada para probar
que los ángulos interiores de un triángulo suman
180 grados, se muestra útil para probar el teorema de
Thales sobre aquellos triángulos inscriptos en una
semicircunferencia que tienen uno de sus lados coincidente con el
diámetro. El último problema se deja
deliberadamente incompleto, como tarea para el lector.�::: El cálculo de Pi con un producto infinito� [Euler]
Al estilo de un relato
futbolístico, un trabajo de Euler visto por Leo Aiello,
médico apasionado por la matemática.�::: Las ecuaciones diferenciales y Van Meegeren [Martin Braun]
En la enciclopedia Encarta 1999, al
buscar "Falsificación de arte" encontramos hacia el final:
"El mejor detector de una obra de arte falsa ..... es el ojo
humano del experto". La siguiente historia de una famosa
falsificación , con una visión enteramente
distinta, ha sido tomada de Martin Braun, Differential Equations
and Their Applications.El algebrista, letra de Enzo R. Gentile,
con música del tango "Mano a mano" (Gardel - Razzano)
EL ALGEBRISTA
Algebrista te volviste
refinado hasta la esencia
oligarca de la ciencia
matemático bacán.
Hoy mirás a los que sudan
en las otras disciplinas
como dama a pobres minas
que laburan por el pan.
¿Te acordás que en otros tiempos
sin mayores pretensiones
mendigabas soluciones
a una mísera ecuación?
Hoy la vas de riguroso
revisás los postulados
y junás por todos lados
la más vil definición.
Pero no engrupís a nadie
y es inútil que te embales
con anillos, con ideales
y con álgebras de Boole.
Todos saben que hace poco
resolviste hasta matrices
y rastreabas las raíces
con el método de Sturm.
Pero puede que algún día
con las vueltas de la vida
tanta cáscara aburrida
te llegue a cansar al fin.
Y añores tal vez el día
que sin álgebras abstractas
y con dos cifras exactas
te sentías tan feliz.
�::: Transformación de Toeplitz [Julio Rey Pastor]
Se trata de una matriz infinita, armada
con sucesiones de números reales o complejos. Cada columna
tiende a cero, y las filas son sucesiones sobre las que se impone
cierta condición de uniformidad asociada con la
convergencia absoluta. Pase y vea.�:::� Y ahora, Otto poquito de Toeplitz� [Elon Lages Lima]
Si el artículo de Rey Pastor
sobre Otto Toeplitz se hizo difícil, he aquí una
mirada algo más descansada, por Elon Lages Lima.�::: El intervalo [0,1] no es numerable
Una demostración distinta de la
clásica, en "La matemática: su contenido,
métodos y significado", deliciosa obra en tres
pequeños tomos por Aleksandrov, Kolmogorov, Laurentiev y
otros.�::: El tesoro que toda sucesión de números reales lleva adentro
Veamos que toda sucesión de
números reales lleva dentro suyo una sucesión
monótona. Una consecuencia casi inmediata y de enorme
importancia es que toda sucesión real acotada tiene una
subsucesión convergente.�::: La docilidad de las series condicionalmente convergentes
Reordenando convenientemente una serie
condicionalmente convergente, se la puede hacer llegar a
cualquier valor prefijado. He aquí un ejemplo
extraído de Piskunov.�::: Prueba corta de la divergencia de la serie armónica
Sobre la divergencia de esta serie hay
distintas demostraciones. Acá hemos hecho una
modificación de la estrategia que expone G. H. Hardy ("A
course of pure mathematics") en la prueba de un teorema de
Pringsheim. Las cuentas son sencillas como para que todo se pueda
contar y entender por teléfono.�::: Un teorema de Pringsheim
Este teorema nos dice que si una
sucesión de términos positivos es sumable y
además es decreciente, entonces su convergencia
a cero es feroz: aún multiplicada por n, sigue
tendiendo a cero.�::: Sumas telescópicas
Se muestra la obtención de varias
"fórmulas de condensación" : conocer la suma de una
lista de números sin sumarlos uno por uno. Se ve la suma
de los primeros naturales, la suma de los cuadrados de los
primeros naturales, etc. Es una separata del archivo
Series.�::: § 1� Parte entera [Korovkin]
Se llegará mucho más lejos
de lo puede sugerir el título. Interesante
aplicación de sumas telescópicas en ejercicio
2.�::: § 2� Media geométrica, media aritmética y otras medias [Korovkin]
En este artículo Korovkin da una
original demostración para probar que dados unos
números positivos, su media geométrica no supera a
su media aritmética.�::: § 3� El número e [Korovkin]
Usando la comparación entre
medias, Korovkin prueba, en apenas un renglón, la
monotonía de la sucesión (1+1/n)n.�::: § 4� Desigualdad de Bernoulli [Korovkin]
Korovkin da una prueba a pulmón
de las desigualdades de Bernoulli, generalizadas a exponentes
reales positivos cualesquiera.
�::: § 5� Medias potenciales
[Korovkin]
Korovkin retoma la discusión
iniciada en § 2, probando que la media potencial de grado
α crece monótonamente con α.
