Toda sucesión real lleva dentro suyo una subsucesión monótona



 

 

El siguiente teorema, de apariencia inofensiva, tiene un significado profundo, y una de sus consecuencias es que, dicho brevemente, toda sucesión real  acotada tiene una subsucesión convergente

 

Teorema. Toda sucesión de números reales tiene una subsucesión monótona

 

Demostración.  Sea  una sucesión real. Diremos que un índice  p es de contención de la sucesión, si  para todo entero .

Observar que vez fijado p, si éste es de contención, ello significa que el número  es una cota inferior para todos los elementos de la sucesión cuyos índices son superiores a  p.  Esto se visualiza  notando que   se encuentra a la izquierda de todos aquellos  elementos de la sucesión cuyos índices son mayores que  p .                                  

Así, por ejemplo, si  7  fuese de contención para la sucesión, podemos asegurar que    están a la derecha de . Por otra parte, nada podemos asegurar sobre la ubicación relativa de los primeros 6 términos de la sucesión.

Observar que un índice q  fracasa en ser índice de contención, cuando para algún índice , es .

 

Ahora bien, en cuanto a la cantidad de índices de contención, puede ocurrir dos cosas:

O bien hay infinitos índices de contención, o bien solamente hay un número finito de tales índices.

 

Supongamos que hay infinitos números de contención. En este caso podemos encontrar unos índices de contención

 

 

 

Como  es de contención,  siendo , la definición nos asegura que  

Análogamente, puesto que  es de contención, y que  es un índice mayor que , la misma definición de contención nos asegura que  está a la derecha de (o coincide con) .

Esto podemos continuar haciéndolo con cada índice, y de este modo hemos conseguido la subsucesión creciente 

 

 

 

Hemos probado la afirmación para el caso de infinitos índices de contención.

 

Ahora examinamos el caso en que solamente hay una cantidad finita de índices de contención.  Ya que hay finitos, si avanzamos lo suficiente, habremos abandonado estos índices de contención, con la seguridad de que a la derecha ya no hay más de tales índices (¿está dibujando?).  Para precisar, supongamos que hay un índice N  tal que si , entonces  no es de contención. Tomemos cualquier índice . Como  no es de contención, ello significa que hay algún índice , con , tal que

 

.

 

Pero análogamente, como  no es de contención, esto nos indica que tiene que existir un índice mayor, digamos , tal que

 

.

 

 Y así sucesivamente (¿yyy? ¿sigue dibujando?). Hemos obtenido una sucesión estrictamente creciente de índices

 

 ,

 

de modo tal que

 

 

 

Con esto hemos probado que la afirmación también vale para el caso en que solamente hubiese un número finito de índices de contención.

Hemos probado el teorema.

 

Ejercicio. Definir  índice de contención a derecha (dual del que hemos dado) y reproducir la discusión para asegurarse que ha comprendido la idea.

 

Corolario.  Toda sucesión real  tiene una subsucesión con límite

 

Demostración. Como acabamos de ver, la sucesión tiene una subsucesión monótona y, como sabemos,  toda sucesión monótona tiene límite.

Notar que este límite es  finito si la sucesión es acotada, es más infinito si es creciente y no acotada superiormente, o por último será menos infinito si se trata de una sucesión decreciente y no acotada inferiormente.

 

Teorema.  Toda sucesión real acotada tiene una subsucesión convergente. Más aún:  dada una sucesión real    con  , existe una subsucesión   y  un  tal que  .

 

Demostración.  Por el teorema,  la sucesión  tiene una subsucesión monótona, digamos . Siendo ésta monótona, tiene un límite, el que tiene que ser finito porque estando acotada la sucesión original, lo mismo  tiene que ocurrir con la subsucesión, y así se tiene un  tal que  . Pero siendo , por la misma razón será

.

un conocido teorema de conservación de las desigualdades por paso al límite [1] nos permite asegurar que 

 

,

con lo que se termina la prueba.

 

Advertencia. No debiera el lector contentarse con  recordar los enunciados de teoremas y corolarios.  Con frecuencia estrategias presentes en una demostración resultan  ser de utilidad en otras circunstancias.  También son  importantes los esfuerzos dirigidos a obtener representaciones visuales de una situación.

 

Nota: esta demostración es básicamente la misma que ofrece  Michael Spivak en su Calculus (cfr op. cit. “puntos cumbre”) 

Obsérvese que el núcleo de la demostración es pequeño, y la abundancia de palabras se debe solamente a que esto está dirigido a un publico amplio. Una vez entendida, la estrategia es simple y difícil de olvidar.



[1] Supuesto que los límites existan,