La divergencia de la serie armónica
prueba corta

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Compárese con la  estrategia empleada

para probar el criterio de Pringsheim

 

 

 

La prueba se hará por reducción al absurdo. Supóngase que   es convergente. Por definición, ello significa que sus sumas parciales  forman una sucesión con límite finito, digamos . Más precisamente:

 

 

 

Ahora bien, si , también lo mismo es cierto para la subsucesión de las sumas parciales de índice par:   , por lo cual, y gracias a nuestra suposición de que  es un número real, podemos restar sin problemas, y obtener

 

  (*)

 

Llegaremos a una contradicción contra este último límite, lo que nos probará que la sucesión estudiada no es sumable.

 

Veamos la siguiente  “escena de sumatoria explícita”:  

 

 

 

Con lo que el resultado anterior  se expresa

 

 

 

La siguiente acotación será reveladora: la suma

 

 

 

de  sumandos(**), es mayor que   veces el sumando más chico, que es   (el último sumando) . Más precisamente

 

 

Reuniendo estos resultados,

 

 

 

,

lo que va en contra de .

El absurdo provino de suponer que las sumas parciales tenían límite finito. Por lo tanto, la serie de los recíprocos de los naturales no es convergente.



(*) Obsérvese que en caso de ser , hubiésemos tenido una resta con forma indeterminada  .

(**) Viendo que los denominadores son , el recorrido del segundo sumando de cada uno de estos números nos muestra que hay un total de n sumandos.