Reordenado una serie condicionalmente convergente, en forma que la nueva ordenación tenga otra suma.

 

 

 

Cuando reordenamos los términos de una serie absolutamente convergente, esto no solamente no altera la convergencia, sino que la serie reordenada tiene el mismo límite que la original.

No ocurre lo mismo con las series que convergen condicionalmente. Riemann probó que dada cualquier serie convergente condicionalmente, y dado cualquier con , siempre es posible encontrar una reordenación de sus términos de modo tal que la nueva serie tenga por límite a .

Una demostración de esto se puede encontrar en cualquier texto de análisis matemático. Acá se ofrece un pequeñ:o ejemplo, tomado de Piskunov.

 

Como  sabemos, la serie alternada

 

                ⁽*⁾

                                               

 converge , pero no lo hace así la serie de sus valores absolutos.

 

 Poniendo

 

,

 

sabemos que existe un real  tal que

 

  ^([1])

 

Hagamos ahora un reordenamiento de los términos de (*) , haciendo  que luego de un término positivo vengan dos negativos, de la siguiente forma:

                                                                      

 

 

Veremos  que esta serie tiene un límite finito, pero distinto del de la serie original.

 

Llamando    a las sumas parciales así construidas, estudiaremos primeramente  :

 

     

 

       

             

 

 

          

 

 

                  

 

En fin,

                                                             

 

Tenemos entonces

 

 

 

Además 

 

 

y también 

 

 

 

En fin, las tres subsucesiones  tienen todas el mismo límite. Observando que estas tres subsucesiones completan toda la sucesión , deducimos que la sucesión entera tiene también  el mismo límite.