Un teorema de Pringsheim

 

 

Compárese la prueba de este teorema con la prueba

de la  divergencia  de la  serie armónica

 

Sea    una sucesión de números positivos y decreciente  tal que  es convergente. Entonces

 

Demostración.  Pongamos  . La convergencia de la serie significa que la sucesión de sumas parciales   tiene un límite finito, digamos . O sea,

 

 

 

También para la subsucesión de sumas parciales pares se tiene

 

 

En consecuencia,

 

o sea

 

 

En esta última suma los índices son , lo que nos muestra que hay  sumandos.

Entonces  la suma es mayor que  veces el sumando más chico, que es   (recuérdese que la sucesión  es decreciente) , o sea

 

 

y como los términos son todos positivos, se tiene

 

 

 

Ahora   queda encerrada por dos sucesiones que tienden a cero, por lo que .

Desde luego, también 

                                                                      

                                             (1)

 

 

por otra parte, como , se tiene que

 

 

 

Nuevamente podemos asegurar que

 

Además

,

y como   y  , resulta

 

                                                       (2)

 

Con  (1) y (2)  vemos que tienden a cero tanto la subsucesión de los pares como la subsucesión de los impares, y en consecuencia tiende a cero la sucesión entera:

 

                                                                                                c.q.d.

.                            

 

 

Nota:  Es un ejercicio sencillo e instructivo  demostrar que 

 

  y    

 

Conclusión válida tanto para límite finito como para límite infinito.

 

 

Ejercicio.  Probar la divergencia de

 

     y de     

 

Donde la primera suma se inicia tomando n  suficientemente avanzado como para que el denominador sea positivo.