Parte entera del número

Desigualdades Cap I

Korovkin

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La parte entera del número , designada por , es el mayor número entero que no sobrepasa .

De esta definición resulta que siempre

,

 

pues la parte entera no sobrepasa . Por otro lado, como  es el mayor número entero que cumple esta desigualdad, tenemos que

 

.

  Por lo tanto,  es el número entero que cumple las desigualdades

 

 

Por ejemplo, de las desigualdades

 

                                          

     

 

resulta que

                       

    

 

En los cálculos aproximados es muy importante saber determinar la parte entera de una magnitud. En efecto, si conocemos la parte entera de una magnitud , podemos tomar  o bien  como valor aproximado de la magnitud  cometiendo un error que no pasa de la unidad, pues

 

 

 

 

 

Es más, el hecho de conocer la parte entera de una magnitud permite hallar fácilmente su  valor con un error que no pasa de . Ese valor aproximado puede tomarse igual a .

Señalemos por último que conociendo la parte entera de un número podemos determinar éste con cualquier grado de exactitud.

 

Efectivamente, puesto que

 

 

tenemos

 

es decir, el número

 

difiere del número  en  todo lo más. Si  es grande, el error será pequeño.

 

En los problemas que siguen se determina la parte entera de algunos números.

 

Problema  1. Hallar la parte entera del número

 

 

Solución.  Emplearemos las  desigualdades

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(que se obtienen calculando las raíces, por defecto y por exceso, en menos de  ). Sumando estas desigualdades, encontramos

 

                                                                                                                

                    

 

o sea,

                                                                                   

                                                            

 

y, por consiguiente, .

 

Notemos, con relación a este ejemplo, que el número  difiere de  en  todo lo más.

 

   Problema  2.  Hallar la parte entera del número  

 

 

 

   Solución.  La única diferencia entre este problema y el anterior es el número de sumandos: en el primer problema eran  y ahora son  . Pero esta circunstancia hace imposible la aplicación práctica del método de solución anterior.

Para resolver el problema analicemos la suma

 

 

Con esta finalidad demostraremos las desigualdades

 

        (1)

En efecto, puesto que

 

 

 

y puesto que

 

 

tenemos

 

 

 

Hemos demostrado la primera de las desigualdades (1) ; la segunda se demuestra de un modo análogo.

 

Si en las desigualdades (1)  tomamos ,  obtenemos

 

 

       

 

         

 

          

 

 

Sumemos ahora estas desigualdades:

 

 

 

Agregando  a todas las desigualdades obtenidas encontramos

 

      (2)

 

Puesto que    y  , de las desigualdades (2) se deduce que

 

                      (3)

 

Empleando las desigualdades (3) es fácil encontrar ahora la parte entera del número

 

 

 

En efecto, si en las desigualdades (3) tomamos , tendremos

 

 

o sea,

 

 

Por consiguiente, .

 

De las desigualdades (2) , se deduce que el número  difiere de  en  todo lo más.. Por lo tanto, hemos calculado el número  en menos del  .

 

Los números  y  difieren del número  a lo sumo en la unidad, y el número  en  todo lo más.

 

 

Analicemos ahora un problema de otra índole.

 

Problema 3.  Demostrar la desigualdad

         

Solución. Pongamos

  

Puesto que

           

                    

                                                

 

resulta que   y, por consiguiente,

 

 

extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros de esta desigualdad, encontramos

 

 

Ejercicios.

 

1.      Demostrar las desigualdades

 

 

 

2.      Demostrar las desigualdades

 

 

 

3.      Hallar  si

 

Respuesta.    

 

4.      Aplicando la inducción matemática, demostrar la desigualdad

 

 

 

5.      Demostrar la desigualdad

 

 

 

Korovkin, Desigualdades