Parte entera del número
Desigualdades Cap I
Korovkin
La parte entera del número ,
designada por
,
es el mayor número entero que no sobrepasa
.
De esta definición resulta que siempre
,
pues la parte entera no sobrepasa .
Por otro lado, como
es el mayor número entero que cumple esta
desigualdad, tenemos que
.
Por lo tanto, es el número entero que cumple las
desigualdades
Por ejemplo, de las desigualdades
resulta que
En los cálculos aproximados es muy importante saber
determinar la parte entera de una magnitud. En efecto, si conocemos la parte
entera de una magnitud ,
podemos tomar
o bien
como valor aproximado de la magnitud
cometiendo un error que no pasa de la unidad,
pues
Es más, el hecho de conocer la parte entera de una magnitud
permite hallar fácilmente su valor con
un error que no pasa de .
Ese valor aproximado puede tomarse igual a
.
Señalemos por último que conociendo la parte entera de un número podemos determinar éste con cualquier grado de exactitud.
Efectivamente, puesto que
tenemos
es decir, el número
difiere del número en
todo lo más. Si
es grande, el error será pequeño.
En los problemas que siguen se determina la parte entera de algunos números.
Problema 1. Hallar la parte entera del número
Solución. Emplearemos las desigualdades
(que se obtienen calculando las raíces, por defecto y por
exceso, en menos de ). Sumando estas desigualdades, encontramos
o sea,
y, por consiguiente, .
Notemos, con relación a este ejemplo, que el número difiere de
en
todo lo más.
Problema 2. Hallar la parte entera del número
Solución. La única diferencia entre este problema y el
anterior es el número de sumandos: en el primer problema eran y ahora son
. Pero esta circunstancia hace imposible la
aplicación práctica del método de solución anterior.
Para resolver el problema analicemos la suma
Con esta finalidad demostraremos las desigualdades
(1)
En efecto, puesto que
y puesto que
tenemos
Hemos demostrado la primera de las desigualdades (1) ; la segunda se demuestra de un modo análogo.
Si en las desigualdades (1)
tomamos , obtenemos
Sumemos ahora estas desigualdades:
Agregando a todas las desigualdades obtenidas
encontramos
(2)
Puesto que y
,
de las desigualdades (2) se deduce que
(3)
Empleando las desigualdades (3) es fácil encontrar ahora la parte entera del número
En efecto, si en las desigualdades (3) tomamos ,
tendremos
o sea,
Por consiguiente, .
De las desigualdades (2) , se deduce que el número difiere de
en
todo lo más.. Por lo tanto, hemos calculado
el número
en menos del
.
Los números y
difieren del número
a lo sumo en la unidad, y el número
en
todo lo más.
Analicemos ahora un problema de otra índole.
Problema 3. Demostrar la desigualdad
Solución. Pongamos
Puesto que
resulta que y, por consiguiente,
extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros de esta desigualdad, encontramos
Ejercicios.
1. Demostrar las desigualdades
2. Demostrar las desigualdades
3.
Hallar si
Respuesta.
4. Aplicando la inducción matemática, demostrar la desigualdad
5. Demostrar la desigualdad
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