§ 3.  El número e

Desigualdades Cap I

Korovkin
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El número  desempeña un papel importante en las matemáticas. Daremos su definición después de resolver una serie de problemas en los que se aplica solamente el teorema  2 (ver § 2)

 

Problema 1.   Demostrar que cualquiera que sean los números positivos , es válida la desigualdad

 

 

Solución.  Tenemos



que es lo que se quería demostrar 

 

Problema 2. Demostrar que a medida que aumenta ,  también aumentan las magnitudes

 

        y      ,

o sea, que

     y      .

 

Solución:
Tomando  y   en la desigualdad del problema anterior, encontramos

 

        

 

Elevando ambos miembros de esta desigualdad a la potencia  tendremos


,

o sea, .

 

La segunda desigualdad se demuestra análogamente

 

 

Problema 3.  Demostrar que  decrece a medida que aumenta , o sea,

 

 

Solución.  Tenemos

   

                              

     

 

(véanse las notaciones del problema 2). Como  aumenta a medida que aumenta , resulta que  decrece

 

 

El número e

            En los problemas 2 y 3 hemos demostrado que

 

,

 

 

Por otra parte,

 

 

   Luego, la variable  satisface dos condiciones:

  1)  crece monótonamente a medida que aumenta n;

  2)  es una variable acotada (  ).

  Es conocido que toda variable acotada y monótona creciente tiene límite. Por lo tanto, existe el límite de la variable . Este límite se designa por la letra e, o sea,

 

 

Como quiera que la variable  tiende a su límite aumentando, resulta que  es menor que su límite, o sea

 

                                                                                                           ( 8 )

 

                                                                                                       

   Es fácil ver que . En efecto, si n es grande, tenemos

 

Por lo tanto, también

 

 

El número e, al igual que el número , desempeña un papel importante en matemática. Se emplea, por ejemplo, como base de logaritmos denominados logaritmos naturales. El logaritmo del número N  respecto a la base e se representa simbólicamente por  (y se lee así: logaritmo natural de N).

Se sabe que los números  y  son irracionales. Cada uno ha sido ya calculado con 808 signos decimales; se tiene

 

 

 

Demostremos ahora que el límite de la variable  es también igual a . En efecto,

 

 

 

Puesto que  decrece a medida que se aproxima a  (véase el problema 2) , resulta que

 

                                                                                                                                          

                                                                                                               ( 9 )

 

 

Problema 4.  Demostrar la desigualdad

                                                                                                                       

                                                                                                                   (10)

 

Solución. Demostraremos la desigualdad (10) aplicando el método de inducción matemática. Es fácil comprobarla para . En efecto,

 

 

Supongamos ahora que la desigualdad (10) se cumple para , o sea,

 

 

 

Multiplicando por  ambos miembros de esta última desigualdad, obtenemos

 

 

Pero, según la desigualdad (8), tenemos

  

y, por eso,

 

 

 

es decir, hemos demostrado la desigualdad (9) para . Con esto, la desigualdad (9) queda demostrada para  todo valor de n.

 

Puesto que , de la desigualdad (9) se deduce que

.

Empleando la última desigualdad es fácil demostrar que

 

 

En efecto, tomando , obtenemos

                                                                       

                                                                                                   

.

 

 

De la misma forma que ha sido demostrada la desigualdad del problema 4, se puede demostrar esta otra: