§ 3. El número e
Desigualdades Cap I
Korovkin
Disponible en PDF
El número desempeña un papel importante en las
matemáticas. Daremos su definición después de resolver una serie de problemas
en los que se aplica solamente el teorema
2 (ver § 2)
Problema 1. Demostrar
que cualquiera que sean los números positivos ,
es válida la desigualdad
Solución. Tenemos
que es lo que se quería demostrar ■
Problema 2. Demostrar que a medida que aumenta , también aumentan las magnitudes
y
,
o sea, que
y
.
Solución:
Tomando y
en la desigualdad del problema anterior,
encontramos
Elevando ambos miembros de esta desigualdad a la potencia tendremos
,
o sea, .
La segunda desigualdad se demuestra análogamente ■
Problema 3. Demostrar que decrece a medida que aumenta
,
o sea,
Solución. Tenemos
(véanse las notaciones del
problema 2). Como aumenta a medida que aumenta
,
resulta que
decrece ■
El número e
En los problemas 2 y 3 hemos demostrado que
,
Por otra parte,
Luego, la variable
satisface dos condiciones:
1) crece monótonamente a medida que aumenta n;
2) es una variable acotada (
).
Es conocido que
toda variable acotada y monótona creciente tiene límite. Por lo tanto, existe
el límite de la variable .
Este límite se designa por la letra e, o sea,
Como quiera que la variable tiende a su límite aumentando, resulta que
es menor que su límite, o sea
( 8 )
Es fácil ver que .
En efecto, si n es grande, tenemos
Por lo tanto, también
El número e, al igual que el número ,
desempeña un papel importante en matemática. Se emplea, por ejemplo, como base
de logaritmos denominados logaritmos naturales. El logaritmo del número N
respecto a la base e se representa
simbólicamente por
(y se lee así: logaritmo natural de N).
Se sabe que los números y
son irracionales. Cada uno ha sido ya calculado
con 808 signos decimales; se tiene
Demostremos ahora que el límite de la variable es también igual a
.
En efecto,
Puesto que decrece a medida que se aproxima a
(véase el problema 2) , resulta que
(
9 )
Problema 4. Demostrar la desigualdad
(10)
Solución. Demostraremos la desigualdad (10) aplicando
el método de inducción matemática. Es fácil comprobarla para .
En efecto,
Supongamos ahora que la desigualdad (10) se cumple para ,
o sea,
Multiplicando por ambos miembros de esta última desigualdad,
obtenemos
Pero, según la desigualdad (8), tenemos
y, por eso,
es decir, hemos demostrado la desigualdad (9) para .
Con esto, la desigualdad (9) queda demostrada para todo valor de n.
Puesto que ,
de la desigualdad (9) se deduce que
.
Empleando la última desigualdad es fácil demostrar que
En efecto, tomando ,
obtenemos
.
De la misma forma que ha sido demostrada la desigualdad del problema 4, se puede demostrar esta otra: