Desigualdades

§5 Medias potenciales

Korovkin
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Ya en el §2 (medias geométrica, aritmética y otras medias) antes de ver el problema 7 hemos señalado que el número

 

 

 

se denomina media potencial de grado  de los números positivos . Al mismo tiempo hemos demostrado (problema 7)  que  si .

 

Ahora demostraremos que la desigualdad

 

 

 

es válida siempre que  . En otras palabras, la media potencial de grado  crece monótonamente a medida que aumenta .

 

Teorema 4.  Si  son números positivos y  , se tiene  con la particularidad de que  sólo si .

Demostración.   El teorema ha sido ya demostrado para el caso en que los números  y  tienen signos opuestos (véase el problema 7 del  §2 y la definición que le precede). Resta demostrar el teorema para  y  del mismo signo.

Supongamos que   y pongamos

 

 

 

Dividiendo  entre , encontramos

 

 

Tomando ahora

 

obtenemos

                                                    (15)

Puesto que

 

 

 

 

,

 

resulta

, o sea, .

 

Pongamos

 

 

 

De la igualdad

                                                    

 

se deduce que .

En virtud del teorema 3, notemos que  tenemos

 

 

                                                                      

         (16)

 

De (15) y (16) se deduce que

 

, o sea, .

 

Notemos que  sólo si en todas las desigualdades (*) tiene lugar el signo de igualdad, es decir, si  (teorema 3) . En este caso, se tiene  y, por consiguiente, .  En cambio, si los números  no son iguales, se tiene

 

 

 

Con esto, el teorema queda demostrado para el caso en que .

Si , tenemos . Repitiendo los razonamientos anteriores, obtendremos en (*) y (16) signos de desigualdad opuestos. Pero como , de la desigualdad

 

 

 

se deduce que

 

es decir,

 

 

Con esto el teorema queda demostrado completamente.

 

En lo que sigue la media geométrica será denominada media potencial de grado cero, o sea, se tomará .

   Notemos que el teorema 4 subsiste también en este caso, ya que (problema 7 del §2,  si , y  si .

Del teorema demostrado se deduce, en particular, que

 

 

 

es decir, la media armónica no pasa de la media geométrica, la media geométrica  no sobrepasa  la media aritmética, y la media aritmética no supera a la media cuadrática de números positivos. Por ejemplo si  y , se tiene

 

,

 

 

 

 

 

 

 

y, por consiguiente,

 

 

 

Problema 1. Demostrar que  si .

 

Solución.  Puesto que la media aritmética no pasa de la media cuadrática,  tenemos

 

 

 

es decir,

,

 

En nuestro caso . El signo de igualdad tiene lugar sólo si .

 

Problema 2.  Demostrar que siendo  y  números positivos y , se tiene

 

Solución.  Debido a que , tenemos

 

En nuestro caso resulta

 

es decir,

.

 

Problema 3.  Demostrar que para los números positivos , se cumplen las desigualdades

 

                    (17)

 

 

                                                                      

                  (18)

 

Solución.  Si , tenemos

 

 

 

Es fácil de deducir de aquí la desigualdad (4.7)  De la misma forma se demuestra la desigualdad (4.8). En particular, de las desigualdades (4.7) y (4.8) resulta que

 

 

 

 

Problema 4. Demostrar que si ,  , se tiene

 

 

 

Solución. Puesto que

 

 

 

según la desigualdad (4.7), resulta

..