Media aritmética,  media geométrica  y otras medias

Desigualdades

Korovkin

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Media geométrica y media aritmética

 

Si  son números positivos, los números

 

 

formados a base de ellos, se denominan, respectivamente, media aritmética y media geométrica de los números . Para estos dos números  Augustin Cauchy, matemático francés, demostró a principios del siglo XIX la desigualdad

        

que se aplica frecuentemente en la solución de problemas. Demostraremos esta desigualdad exponiendo previamente una proposición auxiliar.

 

            Teorema 1. Si el producto de unos números positivos    es igual a  , la suma de los mismos no es menor que :

 

 

Demostración.  Emplearemos el método de inducción matemática[1]. Comprobaremos primero que el teorema es válido para , o sea, demostraremos que 

 

Con este fin, consideraremos por separado dos casos:

            1) .

En este caso tenemos  y el teorema queda demostrado.

            2)  

En este caso tenemos   y  ,  puesto que el producto es igual a 1. De la igualdad

                                         

                                             

 

se deduce que

                                                                                     (4)

 

La igualdad (4) ha sido establecida sin imponer condición alguna a los números   y . Teniendo en cuenta ahora que , obtenemos 

                                                  


Finalmente, puesto que , el último número resulta positivo y por eso  .

O sea, el teorema queda demostrado para . Notemos que la igualdad

 



se cumple sólo si . En cambio, para  , se tiene

 

 

 

Basándonos en el método de inducción matemática, supondremos ahora que el teorema es válido para , es decir, supondremos que la desigualdad
 



tiene lugar si , y demostraremos el teorema para , o sea, demostraremos que

 



si , donde  , , , . . . ,  

 

Notemos ante todo que siendo

,

se pueden presentar dos casos:

 

1)      todos los factores   son iguales, o sea:

 

 

2)       no todos los factores son iguales.

 

En el primer caso todos los factores son iguales a la unidad y la suma de los mismos es igual a , o sea,

 

.

 

En el segundo caso, entre  todos los factores del producto , habrá números mayores y menores que uno (si todos los factores fueran menores que uno, el producto también sería menor que uno).

Sea, por ejemplo,  y . Tenemos

 

 

Poniendo , obtenemos

 

 

Puesto que aquí el producto de k números positivos es igual a la unidad, resulta (por hipótesis) que la suma de los mismos no es menor que k, o sea 

 

Pero

 

 

 

 

,

 

   Recordando que , obtenemos

 

 

 

 

 

Puesto que  y ., tenemos  y, por consiguiente,

 

.

 

Con esto queda demostrado el teorema 1.

 

 

Problema 1.  Demostrar que si  son números positivos, se tiene

 

 

 

con la particularidad de que el signo de igualdad tiene lugar sólo si

 

.

 

Solución. Puesto que

                                                     

,

la desigualdad se deduce del teorema 1. El signo de igualdad tiene lugar sólo si

 

                                                 

 

o sea, sólo si

.

 

 

 

Problema 2.  Demostrar la desigualdad

 

Solución. Tenemos

 

 

Puesto que el producto de los sumandos del último miembro es igual a la unidad,  la suma de los mismos no es menor que dos. El signo de la igualdad tiene lugar sólo para .

 

Problema 3.   Demostrar que para  se tiene

 

 

 

Solución.  Puesto que , tenemos

.

 

Problema 4.  Demostrar la desigualdad

 

 

Solución. Dividamos entre  numerador y denominador del primer miembro de la desigualdad:

 

 

Puesto que , tenemos , y, por  consiguiente,

.

 

Pasemos ahora a demostrar la afirmación enunciada al principio del parágrafo.

 

 

 

 

Teorema 2.  La media geométrica de números positivos no pasa de la media  aritmética de estos mismos números.

Si los números  no son todos iguales, la media geométrica de es tos números es menor que su media aritmética.

 

Demostración.  De la igualdad   se deduce que , o sea,

                                                        

.

Debido a que el producto de estos n números positivos es igual a , resulta (por el teorema 1) que la suma de los mismos no es menor que n, es decir,

 

Multiplicando por g y dividiendo entre n ambos miembros de la última desigualdad, obtenemos

 

.

 

Notemos que la igualdad tiene lugar sólo cuando 

 

                                                    ,

 

o sea, 

                                                       

.

Por el contrario, si los números  no son todos iguales, se tiene

 

                                                                    

.

 

Problema 5.   Entre todos los paralelepípedos con la suma fija de sus tres aristas recíprocamente perpendiculares, hallar el paralelepípedo de volumen máximo.

Solución. Sea  la suma de las aristas y sea  el volumen del paralelepípedo. Puesto que

 

 

tenemos . El signo de la igualdad tiene lugar sólo si ,

o sea, si el paralelepípedo es un cubo.

 

 

Problema  6.  Demostrar la desigualdad

        (5)

Solución.  Empleando el teorema 2, tenemos

 

 

 

Elevando a la nésima potencia ambos miembros de la última desigualdad,  obtendremos la desigualdad (5).

 

 

 

Media potencial

 

Definición.  El número

 

 

se denomina media potencial de grado  de los números . En particular el número

 

 

se denomina media cuadrática, y el número  

 

 

 

se denomina media armónica  de los números .

 

Problema 7.  Demostrar que sí  son números positivos y si , se tiene

                                                                      

                                                                                                                        (6)

 

o sea, que la media potencial de grado negativo no pasa de la media geométrica y que la media potencial de grado positivo no es menor que la media geométrica.

 

Solución. Debido a que la media geométrica  de números positivos no pasa de la media aritmética, tenemos 

 

.

Elevando ambos miembros de la última desigualdad a la potencia  y tomando en consideración que  , obtenemos 

 

 

 

Con esto queda demostrada la primera de las desigualdades (6) ; la segunda se demuestra análogamente.

De la desigualdad (6)  se deduce, en particular, que la media armónica  no pasa de la media aritmética .

 

                            

 

Problema  8.  Demostrar que si  son números positivos, se tiene

 

 

 

Solución.  Puesto que , tenemos

 

.

 

De esta desigualdad se deduce que

 

                            

 

 

 

Problema  9. Demostrar la desigualdad

                                                                      

                                                                                (7)

donde

      , . . . , .

 

Solución.  Puesto que la media geométrica no pasa de la media aritmética, tenemos

 

 

 

Multiplicando por n ambos miembros de esta desigualdad, obtenemos la desigualdad (7).

 

De la desigualdad (7) se deduce que

 

                                                           

           

                                                     

 

                                             

 

o sea, el producto duplicado de dos números positivos no pasa de la suma de sus cuadrados, el producto triplicado de tres números no pasa de la suma de sus cubos, etc.



[1] Una exposición detallada del método de inducción matemática puede verse en el libro de I. S. Sominski “Método de la inducción Matemática” (Editorial MIR, 1975)