Media aritmética, media geométrica y otras medias
Desigualdades
Korovkin
Media geométrica y media aritmética
Si son números positivos, los números
formados a base de ellos, se
denominan, respectivamente, media aritmética y media geométrica
de los números .
Para estos dos números Augustin Cauchy,
matemático francés, demostró a principios del siglo XIX la desigualdad
que se aplica frecuentemente en la solución de problemas. Demostraremos esta desigualdad exponiendo previamente una proposición auxiliar.
Teorema 1.
Si el producto de unos números positivos es igual a
, la suma de los mismos no es menor que
:
Demostración. Emplearemos el método de inducción
matemática[1].
Comprobaremos primero que el teorema es válido para ,
o sea, demostraremos que
Con este fin, consideraremos por separado dos casos:
1) .
En este caso tenemos y el teorema queda demostrado.
2)
En este caso tenemos y
, puesto que el producto es igual a 1. De la
igualdad
se deduce que
(4)
La
igualdad (4) ha sido establecida sin imponer condición alguna a los números y
.
Teniendo en cuenta ahora que
,
obtenemos
Finalmente, puesto que ,
el último número resulta positivo y por eso
.
O
sea, el teorema queda demostrado para .
Notemos que la igualdad
se
cumple sólo si .
En cambio, para
, se tiene
Basándonos
en el método de inducción matemática, supondremos ahora que el teorema es
válido para ,
es decir, supondremos que la desigualdad
tiene
lugar si ,
y demostraremos el teorema para
,
o sea, demostraremos que
si
,
donde
,
,
,
. . . ,
,
Notemos ante todo que siendo
,
se pueden presentar dos casos:
1) todos
los factores son iguales, o sea:
2) no todos los factores son iguales.
En el primer caso todos los
factores son iguales a la unidad y la suma de los mismos es igual a ,
o sea,
.
En el segundo caso, entre todos los factores del producto ,
habrá números mayores y menores que uno (si todos los factores fueran menores
que uno, el producto también sería menor que uno).
Sea, por ejemplo, y
.
Tenemos
Poniendo ,
obtenemos
Puesto que aquí el producto de k números positivos es igual a la unidad, resulta (por hipótesis) que la suma de los mismos no es menor que k, o sea
Pero
,
Recordando que ,
obtenemos
Puesto que y
.,
tenemos
y, por consiguiente,
.
Con esto queda demostrado el teorema 1.
Problema
1. Demostrar que si son números positivos, se tiene
con la particularidad de que el signo de igualdad tiene lugar sólo si
.
Solución. Puesto que
,
la desigualdad se deduce del teorema 1. El signo de igualdad tiene lugar sólo si
o sea, sólo si
.
Problema 2. Demostrar la desigualdad
Solución. Tenemos
Puesto
que el producto de los sumandos del último miembro es igual a la unidad, la suma de los mismos no es menor que dos.
El signo de la igualdad tiene lugar sólo para .
Problema
3. Demostrar que para se tiene
Solución. Puesto que ,
tenemos
.
Problema 4. Demostrar la desigualdad
Solución. Dividamos entre numerador y denominador del primer miembro de
la desigualdad:
Puesto
que ,
tenemos
,
y, por consiguiente,
.
Pasemos ahora a demostrar la afirmación enunciada al principio del parágrafo.
Teorema 2. La media geométrica de números positivos no pasa de la media aritmética de estos mismos números.
Si
los números no son todos iguales, la media geométrica de
es tos números es menor que su media aritmética.
Demostración. De la igualdad se deduce que
,
o sea,
.
Debido
a que el producto de estos n números positivos es igual a ,
resulta (por el teorema 1) que la suma de los mismos no es menor que n,
es decir,
Multiplicando por g y dividiendo entre n ambos miembros de la última desigualdad, obtenemos
.
Notemos que la igualdad tiene lugar sólo cuando
,
o sea,
.
Por
el contrario, si los números no son todos iguales, se tiene
.
Problema 5. Entre todos los paralelepípedos con la suma fija de sus tres aristas recíprocamente perpendiculares, hallar el paralelepípedo de volumen máximo.
Solución.
Sea la suma de las aristas y sea
el volumen del paralelepípedo. Puesto que
tenemos
.
El signo de la igualdad tiene lugar sólo si
,
o sea, si el paralelepípedo es un cubo.
Problema 6. Demostrar la desigualdad
(5)
Solución. Empleando el teorema 2, tenemos
Elevando
a la nésima
potencia ambos miembros de la última desigualdad, obtendremos la desigualdad (5).
Media potencial
Definición. El número
se
denomina media potencial de grado de los números
.
En particular el número
se denomina media cuadrática, y el número
se
denomina media armónica de los
números .
Problema
7. Demostrar que sí son números positivos y si
,
se tiene
(6)
o sea, que la media potencial de grado negativo no pasa de la media geométrica y que la media potencial de grado positivo no es menor que la media geométrica.
Solución. Debido a que la media geométrica de números positivos no pasa de la media aritmética, tenemos
.
Elevando
ambos miembros de la última desigualdad a la potencia y tomando en consideración que
,
obtenemos
Con esto queda demostrada la primera de las desigualdades (6) ; la segunda se demuestra análogamente.
De la
desigualdad (6) se deduce, en
particular, que la media armónica no pasa de la media aritmética
.
Problema 8.
Demostrar que si son números positivos, se tiene
Solución.
Puesto que ,
tenemos
.
De esta desigualdad se deduce que
Problema 9. Demostrar la desigualdad
(7)
donde
,
,
. . . ,
.
Solución. Puesto que la media geométrica no pasa de la media aritmética, tenemos
Multiplicando por n ambos miembros de esta desigualdad, obtenemos la desigualdad (7).
De la desigualdad (7) se deduce que
o sea, el producto duplicado de dos números positivos no pasa de la suma de sus cuadrados, el producto triplicado de tres números no pasa de la suma de sus cubos, etc.