Desigualdad de Bernoulli

 

§ 4 Desigualdades

Korovkin
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En este parágrafo demostraremos, apoyándonos en el teorema 2[1], la desigualdad de Bernoulli, que tiene interés por sí sola y se aplica frecuentemente en la solución de problemas.

 

Teorema 3  Si    , entonces 

                                                                                                            (11)

En cambio, si  o bien si , se tiene

                                                                                                            (12)

 

El signo de igualdad en (11)  y  (12) se cumple sólo para .

 

Demostración:  Supongamos que  es un número racional con la particularidad de que . Sea , donde  y  son números enteros positivos y . Debido a que  por hipótesis, tenemos

 







 

 

El signo de igualdad tiene lugar sólo si todos los factores que figuran debajo del radical son iguales, o sea si , .

En cambio, si , tenemos

.

Es decir, hemos demostrado la primera parte del teorema para el caso en que  es un número racional.

   Supongamos ahora que ,  Sea  una sucesión de números racionales que tiene  como límite con la particularidad  de que . De las desigualdades

,    ,

demostradas ya para el caso en que el exponente es un número racional, se deduce que

 



Con esto la desigualdad (11)  queda demostrada también para los valores irracionales de . Resta demostrar que para valores irracionales de , siendo , y  , se tiene

,

o sea, que el signo de igualdad no tiene lugar en (11) si . Con este fin tomemos un número racional  tal que . Es evidente que

.

Puesto que , resulta, según hemos demostrado, que

 

Por consiguiente

 

Si , tenemos   , o sea,

 

Con esto queda completada la demostración de la primera parte del teorema.

Pasamos a la demostración de la segunda parte del teorema.

 

Si , la desigualdad (12) es evidente, pues su primer miembro  es no negativo, mientras que el segundo es negativo.

 

Si , o sea, , consideraremos por separado cada uno de los casos.

Sea ; entonces según la primera parte del teorema, ya demostrada, tenemos

 

 

 

con la particularidad de que el signo de igualdad tiene lugar sólo si . Elevando a la potencia  ambos miembros de la desigualdad, obtenemos



Sea ahora . Si , la desigualdad (12)  se hace evidente. Si  , tomemos un número entero positivo  de modo que se cumpla la desigualdad

.

En virtud de la primera parte del teorema, tenemos

,

 

 

(la última desigualdad es válida porque  )

 

Elevando a la n-ésima potencia ambos miembros de la última desigualdad, obtenemos

 

 

.

Notemos que la igualdad puede darse sólo en el caso . Con esto queda demostrado completamente el teorema.

 

Problema 1.  Demostrar que para  se tiene



                                                            (13)

Solución

Puesto que , tenemos en virtud de la desigualdad (11)

 

 

 

 

Multiplicando estas desigualdades por , obtenemos

 

 

 

 

 

de donde es fácil deducir las desigualdades (13).

 

Problema 2.  Demostrar que para  , se tiene

 

                                   (14)

 

Solución

Tomando en las desigualdades (13) , obtenemos  

,

,

 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

 

Sumando estas desigualdades, obtenemos (14)

 

 

Problema 3.  Hallar la parte entera del número

 

 

Solución

Tomando en (14)   y  , obtenemos

 

o sea,

  .

 

Puesto que

,

 

,

tenemos

 

,  o sea .

De estas desigualdades resulta que .



[1] Ver § 2 : Media aritmética y media geométrica.