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Autor Tema: Difeomorfismo dilatación  (Leído 90 veces)
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estebanesteban
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« : 28/11/2017, 12:43:33 pm »

Sea [texx]f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n[/texx] continuamente diferenciable tal que existe [texx]c>0[/texx] tal que

[texx]|f(x)-f(y)|>c|x-y|[/texx]

para todo [texx]x,y\in \mathbb{R}^n[/texx]. Muestra que:

a) [texx]f [/texx]es inyectiva;
b) [texx]det(f'(x))\neq 0[/texx] para todo [texx]x\in \mathbb{R}^n[/texx]; y
c) [texx]f(\mathbb{R^n})=\mathbb{R^n}[/texx]. (Sugerencia: Como en la demostración del Teorema de la función inversa considera la función [texx]g(x)=|y-f(x)|^2[/texx].



¿Cómo podrías resolver la pregunta 9 aparatado b y c? Para la c como el determinante es diferente a cero, la matriz es invertible entonces puedo aplicar el teorema de la función inversa, pero no se me ocurre nada más.


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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 28/11/2017, 02:05:46 pm »

Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 En particular:

 - Debes de cuidar la ortografía.
 - No debes de poner el enunciado de un problema como una imagen adjunta. Por el contrario debes de teclearlo explícitamente en el mensaje.

 Por esta vez te lo hemos corregido desde la administración.

Sea [texx]f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n[/texx] continuamente diferenciable tal que existe [texx]c>0[/texx] tal que

[texx]|f(x)-f(y)|>c|x-y|[/texx]

para todo [texx]x,y\in \mathbb{R}^n[/texx]. Muestra que:

a) [texx]f [/texx]es inyectiva;
b) [texx]det(f'(x))\neq 0[/texx] para todo [texx]x\in \mathbb{R}^n[/texx]; y
c) [texx]f(\mathbb{R^n})=\mathbb{R^n}[/texx]. (Sugerencia: Como en la demostración del Teorema de la función inversa considera la función [texx]g(x)=|y-f(x)|^2[/texx].



¿Cómo podrías resolver la pregunta 9 aparatado b y c? Para la c como el determinante es diferente a cero, la matriz es invertible entonces puedo aplicar el teorema de la función inversa, pero no se me ocurre nada más.

 Tengo algo de prisa. Un par de ideas:

 b) Si el determinante del Jacobiano fuese cero habría un vector que mutliplicado por él sería nulo; equivalentemente una dirección [texx]\vec u[/texx], sobre la cual la derivada direccional sería nula. Es decr:

[texx]\displaystyle\lim_{h \to 0}{}\dfrac{|f(x+hu)-f(x)|}{|hu|}=0[/texx]

 Pero si aplicas que [texx]|f(x+hu)-f(x)|>c|x+hu-x[/texx]| eso no es posible.

 c) La aplicación sugerida tiene un mínimo sobre el cuál debe de anularse la diferencial. Esta si no me equivoco es:

[texx]2f'(x)\cdot (y-f(x))=0[/texx]

 dado que [texx]f'(x)[/texx] es una matriz de determinante no nulo, eso implica que [texx]y-f(x)=0[/texx] y así [texx]f(x)=y[/texx].

Saludos.
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estebanesteban
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« Respuesta #2 : 29/11/2017, 11:38:23 am »

Gracias por la respuesta , me quedo claro el apartado b , pero para el c , por qué usas el mínimo de la función g? , aun no entiendo eso.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 29/11/2017, 12:03:59 pm »

Hola

Gracias por la respuesta , me quedo claro el apartado b , pero para el c , por qué usas el mínimo de la función g? , aun no entiendo eso.

Queremos probar que [texx]f [/texx]es sobreyectiva.

Dado [texx]y\in \mathbb{R}^n[/texx] queremos probar que existe [texx]x[/texx] tal que [texx]f(x)=y.[/texx]

Equivalentemente queremos probar que fijado [texx]y[/texx], el mínimo de la función [texx]g(x)=|y-f(x)|^2[/texx] es cero.

¿Ahora?.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 30/11/2017, 10:10:43 am »

Vale amigo , ahora si me quedó claro , gracias.
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« Respuesta #5 : 06/12/2017, 10:01:53 am »

Amigo disculpa , hay algo que no me cuadra; en el apartado b) para la derivada direccional, usas el jacobiano multiplicado con el vector dirección, pero el jacobiano no necesariamente es cero , su determinante si.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #6 : 06/12/2017, 07:43:33 pm »

Hola

Amigo disculpa , hay algo que no me cuadra; en el apartado b) para la derivada direccional, usas el jacobiano multiplicado con el vector dirección, pero el jacobiano no necesariamente es cero , su determinante si.

Revisa en detalle cuál fue mi sugerencia. Lo que uso es que si el determinante de una matriz es cero, hay un vector no nulo que multiplicado por esa matriz da cero.

Entonces en mi razonamiento trabajo con la derivada direccional precisamente en la dirección de ese vector no nulo, y por eso el producto con el jacobiano es nulo.

Saludos.
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