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Autor Tema: Cardinal de R VS cardinal de N en la integral de Riemann  (Leído 186 veces)
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Gudise
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« : 10/12/2017, 11:18:51 am »

Hola, últimamente vengo dando vueltas a una duda con la definición de integral de Riemann como límite de la suma,

[texx]\displaystyle\int_{0}^{L} f(x)\, dx = \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{k=1}^n{\frac{L}{n}\,f\left({k\,\frac{L}{n}}\right)}}[/texx]

Mi duda es: si el conjunto de sumandos del límite es numerable (dado que el propio conjunto [texx]\left\{{k}\right\}=\mathbb{N}[/texx]), ¿cómo es que se puede sustituir por una "suma" en el conjunto de los reales [texx] \mathbb{R}[/texx], que contiene muchos más elementos ?

 Gracias
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robinlambada
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« Respuesta #1 : 10/12/2017, 01:57:46 pm »

Hola Gudise, bienvenido al foro.
Hola, últimamente vengo dando vueltas a una duda con la definición de integral de Riemann como límite de la suma,

[texx]\displaystyle\int_{0}^{L} f(x)\, dx = \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{k=1}^n{\frac{L}{n}\,f\left({k\,\frac{L}{n}}\right)}}[/texx]

Mi duda es: si el conjunto de sumandos del límite es numerable (dado que el propio conjunto [texx]\left\{{k}\right\}=\mathbb{N}[/texx]), ¿cómo es que se puede sustituir por una "suma" en el conjunto de los reales [texx] \mathbb{R}[/texx], que contiene muchos más elementos ?

 Gracias

Es que no se sustituye por una suma en el conjunto de los reales, es decir ,no estas sumando rectas verticales cuando pasas al límite, siempre estas sumando n rectángulos de base [texx]\dfrac{L}{n}[/texx] . Lo que ocurre es que en el límite se demuestra que la suma coincide con el área encerrada y al límite de la suma se le llama integral de Riemman.
Pero repito no estas sumando en el conjunto de los reales, siempre tienes rectángulos de base infinitesimal, de anchura [texx]dx[/texx], de hecho como has advertido [texx]\mathbb{R}[/texx] no es numerable

Saludos.
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Gudise
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« Respuesta #2 : 10/12/2017, 02:22:50 pm »

Es la respuesta más satisfactoria a un problema: no existe el problema.  :cara_de_queso:

Muchas gracias robinlambada
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feriva
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« Respuesta #3 : 10/12/2017, 02:35:15 pm »



[texx]\displaystyle\int_{0}^{L} f(x)\, dx = \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{k=1}^n{\frac{L}{n}\,f\left({k\,\frac{L}{n}}\right)}}[/texx]

Mi duda es: si el conjunto de sumandos del límite es numerable (dado que el propio conjunto [texx]\left\{{k}\right\}=\mathbb{N}[/texx]), ¿cómo es que se puede sustituir por una "suma" en el conjunto de los reales [texx] \mathbb{R}[/texx], que contiene muchos más elementos ?



Hola. Con un ejemplo sencillo: En el intervalo cerrado [1,7] existe una cantidad no numerable de números reales desde 1 a 7; ahora bien, no dejamos de tener una longitud finita 7-1=6, la cual podemos dividir entre cualquier  natural“n” obteniendo una cantidad finita de particiones cuyo valor vendrá dado por un número racional ya que, numerador y denominador son enteros.

Saludos. 
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