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Autor Tema: Matrices  (Leído 100 veces)
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LeidyCastell
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« : 27/11/2017, 07:48:53 pm »

Para [texx]A=\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{2}\\{3}&{1}&{4}\\{4}&{0}&{6}\end{bmatrix}
[/texx]
[texx]b =\left[\begin{array}{ccc}{2}\\{8}\\{10}\end{array}\right]
[/texx]

1. Pruebe que [texx]Ax=b[/texx] es soluble y determine todas las soluciones.
2. Determine todas las soluciones del sistema homogeneo asociado.
3. Pruebe que cada solución de [texx]Ax=b[/texx] es de la forma [texx]x=x_p+x_h[/texx]  donde [texx]x_p [/texx]es solución de [texx]Ax=b[/texx] y [texx]x_h\in N(A)[/texx], donde [texx]N(A)[/texx] denota el espacio nulo de la matriz [texx]A[/texx].

Algún estudioso en el área de álgebra podría ayudarme  :cara_de_queso:
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 28/11/2017, 06:00:08 am »

Hola

Para [texx]A=\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{2}\\{3}&{1}&{4}\\{4}&{0}&{6}\end{bmatrix}
[/texx]
[texx]b =\left[\begin{array}{ccc}{2}\\{8}\\{10}\end{array}\right]
[/texx]

1. Pruebe que [texx]Ax=b[/texx] es soluble y determine todas las soluciones.
2. Determine todas las soluciones del sistema homogeneo asociado.
3. Pruebe que cada solución de [texx]Ax=b[/texx] es de la forma [texx]x=x_p+x_h[/texx]  donde [texx]x_p [/texx]es solución de [texx]Ax=b[/texx] y [texx]x_h\in N(A)[/texx], donde [texx]N(A)[/texx] denota el espacio nulo de la matriz [texx]A[/texx].

Algún estudioso en el área de álgebra podría ayudarme  :cara_de_queso:

Es un problema típico de sistemas de ecuaciones lineales; sería bueno que indicases las dudas concretas que tienes, porque el procedimiento de resolución es totalmente mecánico.

Aquí tienes unas notas donde se explica:

http://www.uco.es/geometria/documentos/Tema2Biologia_Sistemas.pdf

Te doy algunas indicaciones; si sigues teniendo dudas concreta tus dificultades.

1) El sistema es compatible si el rango de la matriz del sistema [texx]A [/texx]coincide con el de la ampliada [texx]\overline{A}.[/texx]

[texx]\overline{A}=\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{2}&{2}\\{3}&{1}&{4}&{8}\\{4}&{0}&{6}&{10}\end{bmatrix}[/texx]

Para hallar los rangos es cómodo escalonar la matriz ampliada. Después resuelve el sistema simplificado.

Si no has estudiado esto directamente pudes plantear el sistema dado por esas matrices:

[texx]Ax=b\quad \Longleftrightarrow{}\quad \begin{cases}x-y+2z=2\\3x+y+4z=8\\4x+6z=10\end{cases}[/texx]

e ir despejando una variable en una ecuación y sustituyendo en el resto.

2) El sistema homogéneo asociado es [texx]Ax=0[/texx]. Lo puedes resolver por cualquiera de los dos métodos indicados en (1).

3) Es un hecho general:

- si [texx]x_p[/texx] es una solución de [texx]Ax=b[/texx] y [texx]x[/texx] es cualquier otra solución entonces [texx]x-x_p[/texx] es una solución del sistema homogéneo ya que:[texx] A(x_p-x)=Ax_p-Ax=b-b=0[/texx].

- si [texx]x_p[/texx] es una solución de [texx]Ax=b[/texx] y [texx]x_h[/texx] es solución del homogéneo entonces[texx] x_p+x_h[/texx] es solución de [texx]Ax=b[/texx], ya que: [texx]A(x_p+x_h)=Ax_p+Ax_h=b+0=b[/texx].

Saludos.
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LeidyCastell
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« Respuesta #2 : 05/12/2017, 08:25:26 pm »

el rango de [texx]A[/texx] es igual al numero de columnas que son linealmente independientes, en este caso seria [texx]3[/texx] y al llegar a la matriz aumentada encuentro que [texx]x_1[/texx] y [texx]x_2[/texx] son variables basicas y [texx]x_3[/texx] es una variable libre y su rango seria de [texx]2[/texx]. Esto quiere decir que [texx]R(A) > R(\overline{A})[/texx] ? no entiendo bien. porque si es asi diria que el sistema no es compatible porque no coinciden los rangos.
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« Respuesta #3 : 06/12/2017, 09:49:58 am »

Hola.
el rango de [texx]A[/texx] es igual al numero de columnas que son linealmente independientes, en este caso seria [texx]3[/texx] y al llegar a la matriz aumentada encuentro que [texx]x_1[/texx] y [texx]x_2[/texx] son variables basicas y [texx]x_3[/texx] es una variable libre y su rango seria de [texx]2[/texx]. Esto quiere decir que [texx]R(A) > R(\overline{A})[/texx] ? no entiendo bien. porque si es asi diria que el sistema no es compatible porque no coinciden los rangos.
Te has hecho un lío. Nunca el rango de una matriz [texx]A[/texx], puede ser mayor del rango de su matriz ampliada [texx]\overline{A}[/texx] (sendo esta última ampliando la matríz de los coeficientes con una columna más constituida por los términos independientes en el 2º miembro.)

Realmente el rango de [texx]A[/texx] es dos. ([texx]ran(A)=2[/texx]) puesto que [texx]det\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{2}\\{3}&{1}&{4}\\{4}&{0}&{6}\end{bmatrix}=0[/texx], por ello [texx]ran(A)<3[/texx]

Pero como hay un menor de orden 2 distinto de cero como  [texx]det\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{3}&{1}\end{bmatrix}\neq{0}\Rightarrow{}ran(A)=2[/texx],

Además el [texx]ran(\bar{A})=2[/texx],

Pues si te fijas en la última fila de la matriz ampliada [texx]\overline{A}=\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{2}&{2}\\{3}&{1}&{4}&{8}\\{4}&{0}&{6}&{10}\end{bmatrix}[/texx], es la suma de las 2 primeras, es decir: [texx](1,-1,2,2)+(3,1,4,8)=(4,0,6,10)[/texx]

Por ello es combinación lineal de las 2 primeras y su rango es 2. El sistema es compatible indeterminado. ( pues [texx]ran(A)=ran(\bar{A})=2<3[/texx])

Saludos.
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« Respuesta #4 : 06/12/2017, 02:04:08 pm »

Hola, LeidyCastell

el rango de [texx]A[/texx] es igual al numero de columnas que son linealmente independientes, en este caso seria [texx]3[/texx] y al llegar a la matriz aumentada encuentro que [texx]x_1[/texx] y [texx]x_2[/texx] son variables basicas y [texx]x_3[/texx] es una variable libre y su rango seria de [texx]2[/texx].

Ya te lo han dicho, pero supongamos que el rango fuera 3 de verdad; por ejemplo en esta matriz

[texx]\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1\\
2 & 2 & 1
\end{array}\right)
 [/texx]

En los valores del centro de cada fila, tenemos 0, 1 y 2. No existe ningún número (salvo cero, que no sirve) que multiplicado por 1 ó por 2 dé cero; y tampoco ningún número que multiplicado por cero dé 1 ó dé 2.

De modo similar (un poco más complicado pero poco) respecto de las filas (111) y (221), tenemos que la tercera coordenada es igual en las dos filas (es 1) pero en las otras no; con esto no puedo transformar una fila en otra, porque si quiero que alguno de los coeficientes que no es igual sea igual, cambiaré también ese tercer 1 en común en alguno de las dos filas; y dejará de ser igual el tercer coeficiente.

Bien, pues esto que digo, ya lo ves, está determinando la independencia de unas filas.

Ahora, si yo añado una cuarta cuarta columna a voleo para tener una matriz ampliada

[texx]\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 5\\
1 & 1 & 1 & 7,8\\
2 & 2 & 1 & 5
\end{array}\right)
 [/texx]

¿Modifican esas cuartas coordenadas lo que he dicho? Pues no, las condiciones no cambian, si eran linealmente independientes, seguirán siéndolo, no influye, seguimos sin poder transformar ese cero y lo otro.

En cambio, sí puede ocurrir que la cuarta coordenada deshaga la dependencia lineal.

Éste (2,4,6) es éste mismo (1,2,3) multiplicado por dos; pero si en uno añado de cuarta coordenada cero y en el otro un número distintos de cero... ya no son dependientes; por lo dicho antes.


Hay que advertir de que en todo lo dicho no he hallado el rango de nada en ningún caso, he comparado la independencia de filas dos a dos, pero la independencia entre todos ellos no se puede hallar así, dos a dos, porque dependen todos de todos; lo suyo es mirar, antes de nada, el determinante, para ver si el rango es menor que el orden de la matriz. Si el determinante es cero, y la matriz tiene “n” filas y “n” columnas, el rango es menor que “n”; puede ser 1 ó 2 ó 3... ó (n-1).


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Saludos.
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