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Autor Tema: Demostrar que el diédrico \(D_6\sim Z_2\times S_3\)  (Leído 135 veces)
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Javiskat
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« : 26/11/2017, 07:42:07 am »

Cómo puedo demostrar que el grupo diedrico  [texx]D_6[/texx] es isomorfo a [texx]\mathbb{Z}_2[/texx] x [texx]S_3[/texx] . Tengo una demostración en la que utilizamos que [texx]S_3[/texx] es isomorfo a las matrices invertibles 2x2 con coeficientes en [texx]\mathbb{Z}_2[/texx]
Muchas gracias de antemano un saludo
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serpa
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« Respuesta #1 : 26/11/2017, 02:41:17 pm »

Hola.
Cómo puedo demostrar que el grupo diedrico  [texx]D_6[/texx] es isomorfo a [texx]\mathbb{Z}_2[/texx] x [texx]S_3[/texx] . Tengo una demostración en la que utilizamos que [texx]S_3[/texx] es isomorfo a las matrices invertibles 2x2 con coeficientes en [texx]\mathbb{Z}_2[/texx]
Muchas gracias de antemano un saludo

Demuestra que en [texx]\mathbb{Z}_2 \times S_3[/texx] hay dos elementos [texx]\alpha \text{ y } \beta[/texx], que satisfacen: [texx]ord(\alpha)=2, ord(\beta)= 3, \  \alpha \beta \alpha =\beta ^{-1}[/texx].

Luego demuestra que [texx]\mathbb{Z}_2 \times S_3 = \left<{\alpha , \beta}\right>[/texx].

Saludos.
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Javiskat
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« Respuesta #2 : 27/11/2017, 01:20:36 pm »

Sigo teniendo problemas porque no sé cómo se llega a afirmar que si tengo un elemento de orden 2 y otro de orden 3 que cumplan esa igualdad, entonces se tiene que los generadores son ellos. Imagino que la demostración seguirá con que tengo que buscar dos elementos generadores de [texx]D_6[/texx] que tengan los mismos órdenes y que mi homomorfismo lleve a cada elemento generador de [texx]D_6[/texx] con el que tenga el mismo orden en [texx]\mathbb{Z}_2[/texx] x [texx]S_3[/texx]. ¡Muchísimas gracias !
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 27/11/2017, 02:05:13 pm »

Hola

Sigo teniendo problemas porque no sé cómo se llega a afirmar que si tengo un elemento de orden 2 y otro de orden 3 que cumplan esa igualdad, entonces se tiene que los generadores son ellos. Imagino que la demostración seguirá con que tengo que buscar dos elementos generadores de [texx]D_6[/texx] que tengan los mismos órdenes y que mi homomorfismo lleve a cada elemento generador de [texx]D_6[/texx] con el que tenga el mismo orden en [texx]\mathbb{Z}_2[/texx] x [texx]S_3[/texx]. ¡Muchísimas gracias !

Pues una vez localizados los elementos que indica serpa puedes construir:

[texx]f:D_6\to \mathbb{Z}_2\times S_3[/texx]

[texx]f(s)=\alpha,\qquad f(r)=\beta[/texx]

y ver que es un isormofismo.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 27/11/2017, 02:13:12 pm »

Sigo teniendo problemas porque no sé cómo se llega a afirmar que si tengo un elemento de orden 2 y otro de orden 3 que cumplan esa igualdad, entonces se tiene que los generadores son ellos. Imagino que la demostración seguirá con que tengo que buscar dos elementos generadores de [texx]D_6[/texx] que tengan los mismos órdenes y que mi homomorfismo lleve a cada elemento generador de [texx]D_6[/texx] con el que tenga el mismo orden en [texx]\mathbb{Z}_2[/texx] x [texx]S_3[/texx]. ¡Muchísimas gracias !
Creo que en realidad lo que pregunta es ¿cómo demostrar que esos elementos generan a [texx]\mathbb{Z}_2 \times S_3[/texx]?

Pues bien, debes ponerte en la tarea de listar todos los elementos de [texx]\mathbb{Z}_2 \times S_3[/texx], luego verificar que efectivamente cada uno de ellos se obtiene de los dos elementos que encontraste. Trata de hacerlo y si tienes dudas vuelve y pregunta.


Saludos.
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Javiskat
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« Respuesta #5 : 27/11/2017, 03:11:13 pm »

Vale ahora todo perfecto gracias por vuestro tiempo un saludo
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« Respuesta #6 : 06/12/2017, 05:14:00 am »

Buenas ya he encontrado los generadores pero al construir el homomorfismo no sé que propiedades se han de cumplir para que realmente sea un isomorfismo
Por ejemplo si [texx]f: G \longrightarrow{S_3}[/texx]
Tal que f(a) = b y f(c)= d con a y b generadores de G y b y d generadores de [texx]S_3[/texx]. Si cada grupo tiene 6 elementos ¿ya he terminado? No logro entender que propiedades se deben seguir para que sea un isomorfismo, ya que yo tengo que como propiedades que sea un homomorfismo biyectivo. Pues bien, por definición de producto de homomorfismo f(ac)=f(a)f(c) pero como ac me da un elemento N entonces al final los generadores no me sirven ¿no? Tendría que comprobar elemento a elemento ( al aparecer N debería de construir el homomorfismo con los 6 elementos ya que N iría al producto de bd en [texx]S_3[/texx]
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Luis Fuentes
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« Respuesta #7 : 06/12/2017, 07:48:06 pm »

Hola

Buenas ya he encontrado los generadores pero al construir el homomorfismo no sé que propiedades se han de cumplir para que realmente sea un isomorfismo
Por ejemplo si [texx]f: G \longrightarrow{S_3}[/texx]
Tal que f(a) = b y f(c)= d con a y b generadores de G y b y d generadores de [texx]S_3[/texx]. Si cada grupo tiene 6 elementos ¿ya he terminado? No logro entender que propiedades se deben seguir para que sea un isomorfismo, ya que yo tengo que como propiedades que sea un homomorfismo biyectivo. Pues bien, por definición de producto de homomorfismo f(ac)=f(a)f(c) pero como ac me da un elemento N entonces al final los generadores no me sirven ¿no? Tendría que comprobar elemento a elemento ( al aparecer N debería de construir el homomorfismo con los 6 elementos ya que N iría al producto de bd en [texx]S_3[/texx]

En general si el grupo [texx]G[/texx] está dado a través de unos generadores [texx]a,b[/texx] y unas relaciones ([texx]a^n=e[/texx], [texx]b^m=e[/texx], [texx]ab^3ab^{-1}=e[/texx] por ejemplo) tienes que comprobar que el morfismo está bien definido verificando que en el núcleo de la aplicación están las relaciones dadas, es decir, que[texx] f(a)^n=e[/texx], [texx]f(b)^m=e[/texx], [texx]f(ab^3ab^{1})=e[/texx] en mi ejemplo.

Después si ambos grupos tienen el mismo cardinal basta por ejemplo que pruebes que es sobreyectiva.

Saludos.
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