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Autor Tema: Valores propios de un operador  (Leído 41 veces)
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Julio_fmat
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« : 15/11/2017, 02:02:56 am »

Sea [texx]X=\ell^{p}[/texx] con la norma [texx] \left\|{.}\right\|_p[/texx] para [texx]1\le p\le \infty.[/texx] Sea [texx]A(x)=\left(x_1,\dfrac{x_2}{2},\dfrac{x_3}{3},...\right)[/texx] con [texx]x=(x_1,x_2,...)\in X.[/texx] Muestre que [texx]\dfrac{1}{n}[/texx] es un valor propio de [texx]A[/texx], pero que [texx]0[/texx] no es un valor propio de [texx]A[/texx].

De Álgebra Lineal, sabemos que los valores propios asociados a los vectores propios, son las raíces del polinomio característico. Mi pregunta es si para este caso, la mecánica es la misma? Porque sino, podríamos usar el espectro de un operador definido como

[texx]\sigma(A)=\{k\in \mathbb{K}: A-kI \text{ no es invertible}\}[/texx].

Bueno, y sino... ¿Cuál es el polinomio característico en dimensión infinita?
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el_manco
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« Respuesta #1 : 15/11/2017, 05:47:53 am »

Hola

Sea [texx]X=\ell^{p}[/texx] con la norma [texx] \left\|{.}\right\|_p[/texx] para [texx]1\le p\le \infty.[/texx] Sea [texx]A(x)=\left(x_1,\dfrac{x_2}{2},\dfrac{x_3}{3},...\right)[/texx] con [texx]x=(x_1,x_2,...)\in X.[/texx] Muestre que [texx]\dfrac{1}{n}[/texx] es un valor propio de [texx]A[/texx], pero que [texx]0[/texx] no es un valor propio de [texx]A[/texx].

De Álgebra Lineal, sabemos que los valores propios asociados a los vectores propios, son las raíces del polinomio característico. Mi pregunta es si para este caso, la mecánica es la misma? Porque sino, podríamos usar el espectro de un operador definido como

[texx]\sigma(A)=\{k\in \mathbb{K}: A-kI \text{ no es invertible}\}[/texx].

Bueno, y sino... ¿Cuál es el polinomio característico en dimensión infinita?

Para dimensión infinita no hay polinomio característico.

Pero en este caso simplemente usa la definición de valor propio.

[texx]\lambda[/texx] es un valor propio de [texx]A[/texx] si existe [texx]\{x_n\}\in \ell^p[/texx] no nula tal que [texx]A(\{x_n\})=\lambda \{x_n\}[/texx].

Ahora debería de serte muy obvio encontrar para cada [texx]m[/texx], sucesiones [texx]\{x_n\}[/texx] no nulas tales que [texx]A(\{x_n\})=\dfrac{1}{m} x_n[/texx] y probar que sin embargo no existe una sucesión no nula [texx]\{x_n\}[/texx] tal que[texx] A(\{x_n\})=0\cdot \{x_n\}=\{0\}[/texx].

Saludos.
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