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Autor Tema: Cónicas (I)  (Leído 454 veces)
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« : 12/11/2017, 09:01:42 am »

Hola, buenos días, no veo el último detalle de;

Sea [texx]Q(x, y) = 0[/texx] la ecuación de una hipérbola [texx]\mathbb{H}[/texx], con invariantes métricos [texx]\Delta[/texx], [texx]\delta[/texx] y [texx]s[/texx], siendo [texx]A[/texx] la matriz principal de [texx]Q[/texx]. Demostrar que si [texx]\lambda[/texx] es el valor propio de [texx]A[/texx] con el mismo signo que [texx]\Delta[/texx] , entonces el semieje principal de [texx]\mathbb{H}[/texx] es [texx]a =\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{-\Delta}{\delta \lambda}}[/texx] y la dirección del eje principal es el subespacio propio de [texx]A[/texx] asociado a dicho valor propio.

Nótemos que la ecuación reducida de una hipérbola es [texx]\left ( \displaystyle\frac{x}{a} \right )^2 - \left ( \displaystyle\frac{y}{b} \right )^2 = 1[/texx].
Tenemos que [texx]Q(x,y) = ax^2+ 2bxy + cy^2 + 2ex + 2fy +d[/texx], que tras aplicar la primera reducción cambiando de referencial usando [texx]Q=\begin{bmatrix}{\alpha}&{\beta}\\{\beta}&{-\alpha}\end{bmatrix}[/texx] con  [texx] \alpha^2 + \beta^2 = 1[/texx]. Se tendría
[texx]Q(x',y') = \lambda_{1}x'^2 + \lambda_{2}y'^2 + 2mx + 2ny + d[/texx]. Donde [texx]\lambda_{1}[/texx],[texx]\lambda_{2}[/texx] son los valores propios de la matriz principal [texx]A[/texx]. Ajustando cuadrados y aplicando una traslación del centro del referencial [texx]R'[/texx], se tendría  [texx]Q(x',y')=\lambda_{1}x'^2 +\lambda_{2}y'^2 -q[/texx], donde [texx]\Delta = \begin{bmatrix}{\lambda_{1}}&{0}&{0}\\{0}&{\lambda_{2}}&{0}\\{0}&{0}&{-q}\end{bmatrix}=-\lambda_{1}\lambda_{2}q [/texx], donde al ser una hipérbola [texx]\delta = \lambda_{1}\lambda_{2} < 0[/texx].

De [texx]Q(x',y')[/texx] obtenemos la ecuación

[texx]
\lambda_{1}x'^2 +\lambda_{2}y'^2 = q \Leftrightarrow{}
\displaystyle\frac{x'^2}{q/\lambda_{1}} + \displaystyle\frac{y'^2}{q/\lambda_{2}} = 1 \Leftrightarrow{}



\left ( \displaystyle\frac{x'}{\sqrt[ ]{q/\lambda_{1}}} \right )^2 + \left ( \displaystyle\frac{y'}{\sqrt[ ]{q/\lambda_{2}}} \right )^2= 1

[/texx]

Luego se tiene que el semieje principal/real es [texx]a=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{q}{\lambda_{1}}}= \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{- \Delta}{\delta \lambda_{1}}}  \in \mathbb{R} \Leftrightarrow{} signo(\Delta) = signo(\lambda_{1})[/texx].

 Ahora no me queda claro cómo ver que la dirección del eje principal es el subespacio propio de [texx]A[/texx] asociado a dicho valor propio

que en este caso es [texx]Ker(A-\lambda_{1}Idv) = \begin{bmatrix}\alpha\\{\beta}\end{bmatrix} [/texx] (la primera columna de [texx]Q[/texx] ortogonal)

Gracias de antemano.

Saludos.

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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 12/11/2017, 02:46:47 pm »

Hola

 No me queda claro cuál es tu duda:

 1) Es claro que en la nueva referencia el eje principal tiene la dirección [texx](1,0)[/texx].

 2) Como [texx]Q[/texx] es la matriz de cambio de base (de la base en la nueva referencia a la base de partida) en la base de partida el eje principial es [texx]Q(1,0)^t[/texx]; justo la primera columna de [texx]Q[/texx].

 3) El cambio de referencia que has hecho significa que la relación entre la matriz [texx]A[/texx] principal de la cónica en la referencia de partida y la matriz [texx]A'[/texx] de la matriz principal de la cónica en la referencia nueva es:

[texx]A'=Q^{-1}AQ[/texx]

 donde [texx]A'=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\\\end{pmatrix}[/texx]

 Equivalentemente [texx]QA'=AQ[/texx] y eso significa que las columnas de [texx]Q[/texx] son los autovalores de [texx]A[/texx] asociados respectivamente a los autovalores [texx]\lambda_1[/texx] y [texx]\lambda_2[/texx].

Saludos.
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latex
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« Respuesta #2 : 12/11/2017, 03:28:42 pm »

Entendido, me faltaba aclararme con lo que estaba subrayado, que son tus respuestas 1), y 2) Ahora todo me encaja.

Saludos :sonrisa:
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