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Autor Tema: Integrales triples...  (Leído 106 veces)
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« : 14/11/2017, 11:50:22 pm »

Hola

Tengo problemas con los "extremos" de integración en las integrales triples, me pueden ayudar con el siguiente ejemplo?

Calcular [texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{D}^{}xyz[/texx] donde [texx]D=\left\{{(x,y,z)\in{\mathbb{R^3}: 0\leq{y}, 0\leq{x}, 0\leq{z}, x^2+y^2+z^2\leq{1}}}\right\}[/texx]

Con las integrales dobles miraba como "se movía" la [texx]x[/texx] o la [texx]y[/texx], pero acá no me sale  :indeciso:

Agradezco su ayuda!
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ingmarov
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« Respuesta #1 : 15/11/2017, 12:24:23 am »

Hola

En rectangulares creo que es

[texx]\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\int_{0}^{\sqrt{1-y^2-x^2}}xyz\,dz\,dy\,dx[/texx]

La región es la sección de la esfera unitaria contenida en el primer octante.

Saludos
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« Respuesta #2 : 15/11/2017, 05:11:12 pm »

En esféricas debe ser...

[texx]\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(rsen(\theta)cos(\varphi)\right)\left(rsen(\theta)sen(\varphi)\right)\left(rcos(\theta)\right)r^2sen(\theta)d\theta\,d\varphi\,dr[/texx]


Saludos
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« Respuesta #3 : 15/11/2017, 10:55:27 pm »

Hola

Me explicas como sacas los extremos de integración cuando usas esféricas? (a partir de las condiciones dadas...)
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ingmarov
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« Respuesta #4 : 15/11/2017, 11:32:35 pm »

Hola

Me explicas como sacas los extremos de integración cuando usas esféricas? (a partir de las condiciones que dadas...)

Con gusto.

r: es la distancia desde el origen de coordenadas a algún punto del espacio, en este caso la máxima distancia de la región es la superficie de la esfera a una distancia de 1 desde el origen, por eso    [texx]0\leq r\leq\bf 1[/texx]

[texx]\varphi[/texx]: es el ángulo entre el semi-eje x positivo y la proyección de un punto sobre el plano xy. La región dada está en el primer octante por eso  [texx]0\leq\varphi\leq \dfrac{\pi}{2}[/texx]. Es importante que hagas un dibujo para que comprendas mejor el problema.


[texx]\theta[/texx]: es el ángulo desde el semi-eje z positivo y algún punto del espacio (es como medir desde el polo norte del planeta Tierra hacia el sur en dirección de los meridianos). Por ejemplo, todos los puntos del plano xy tienen coordenada esférica [texx]\theta=\dfrac{\pi}{2}[/texx]. Como todos los puntos de la región del problema están en el primer octante  [texx]0\leq\theta\leq\dfrac{\pi}{2}[/texx]


Espero te sirva.
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« Respuesta #5 : 15/11/2017, 11:42:51 pm »

Entendí  :sonrisa_amplia: gracias!
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