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Autor Tema: Prueba por inducción suma de progresión geométrica  (Leído 639 veces)
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« : 20/12/2017, 05:45:01 am »

Hola buenas tengo un problema con la inducción que me han mandado en clase para preparar exámenes finales.La susodicha inducción es
\forall{r}\in{R}

[texx](r-1)\displaystyle\sum_{i=0}^n{}r^i= r^{n+1}-1[/texx]

Gracias de antemano
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 20/12/2017, 06:03:46 am »

Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Hola buenas tengo un problema con la inducción que me han mandado en clase para preparar exámenes finales.La susodicha inducción es

[texx](r-1)\displaystyle\sum_{i=0}^n{}r^i= r^{n+1}-1[/texx]

 ¿Qué has intentado? ¿Qué dudas concretas tienes?.

 Te ayudo con el paso inductivo. Suponiendo cierto que:

[texx](r-1)\displaystyle\sum_{i=0}^n{}r^i= r^{n+1}-1[/texx]

 tenemos que demostrar que:

[texx](r-1)\displaystyle\sum_{i=0}^{n+1}{}r^i= r^{(n+1)+1}-1[/texx]

 Entonces:

[texx](r-1)\displaystyle\sum_{i=0}^{n+1}{}r^i=(r-1)\left(r^{n+1}+\displaystyle\sum_{i=0}^{n}{}r^i\right)=(r-1)r^{n+1}+\underbrace{(r-1)\displaystyle\sum_{i=0}^{n}{}r^i}_{\begin{matrix}r^{n+1}-1\\\textsf{por hipót. de inducción}\\\end{matrix}}=\\
=r^{n+2}-r^{n+1}+r^{n+1}-1=r^{n+2}-1[/texx]

Saludos.
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