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Autor Tema: Ecuaciones diferenciales, Diseño modelo matemático  (Leído 54 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Erika Infante
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« : 14/11/2017, 09:15:54 pm »

Buenas tardes
¿Alguien puede ayudarme a formular este modelo?
La solución de la ecuación es lo de menos pero de verdad necesito ayuda para modelar la ecuación, gracias de antemano.

Diseñe un modelo matemático para la temperatura de un pastel mientras está adentro del horno con base en los siguientes supuestos: en t = 0, la mezcla del pastel está la temperatura ambiente de 70◦F; el horno no está precalentado, de manera que cuando t = 0 y la mezcla del pastel se coloca en el horno, la temperatura en el interior de  éste es también de 70◦F; la temperatura del horno se incrementa linealmente hasta t = 4 minutos, cuando se llega a la temperatura deseada de 300◦F; la temperatura del horno es una constante de 300◦cuando t ≥ 4.
Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial formulado.
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Masacroso
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« Respuesta #1 : 14/11/2017, 10:31:07 pm »

Yo lo que veo, tal y como está descrito el enunciado, es que la temperatura es una función lineal cuando [texx]t\in[0,4][/texx] y luego una constante, es decir:

[texx]\displaystyle T(t):=\begin{cases}70+\frac{115}2 t,& t\in[0,4]\\300, &t>4\end{cases}[/texx]

No sé a qué "ecuación diferencial" se refiere relativo a lo de arriba.
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delmar
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« Respuesta #2 : 14/11/2017, 10:36:48 pm »

Hola Erika Infante

Bienvenida al foro

Una forma válida es utilizando la ley de (calentamiento / enfriamiento) de Newton, que esencialmente nos dice que : "el calentamiento respecto del tiempo,  de un objeto en un ambiente dado, es proporcional a la diferencia de temperatura entre el ambiente y el objeto". Obviamente se supone que el medio ambiente esta a una temperatura mayor o igual al del objeto, por lo general la temperatura del ambiente es constante; pero también se puede suponer que es función del tiempo. Esta es una ley empírica aproximada.

En este caso el objeto es el pastel y el horno el ambiente :

[texx]T[/texx] temperatura del pastel, ºF

[texx]T_H(t)[/texx] temperatura del horno, ºF

K constante de proporcionalidad

t es el tiempo, en minutos

[texx]T(0)=T_H(0)=70[/texx]

Por ser la temperatura del horno,  lineal durante los primeros 4 minutos a los que llega a la temperatura de 300ºF, se tiene : [texx]\displaystyle\frac{T_H(t)-70}{t}=\displaystyle\frac{300-70}{4}\Rightarrow{T_H(t)=57.5t+70}[/texx]

Por lo tanto : [texx]T_H(t)=\begin{cases}57.5t+70  & \text{si}& 0\leq{t}\leq{4}\\300 & \text{si}& t>4\end{cases}[/texx]

En consecuencia la ley adopta esta forma :

[texx]\displaystyle\frac{dT}{dt}=K(T_H(t)-T)[/texx]

Hay que determinar k, para ello servirá la condición inicial


Saludos

Vi el aporte de Masacroso sobre la forma de la temperatura del horno, esa es la misma idea que tengo
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