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Autor Tema: Integral con módulo y raíces de cúbica  (Leído 56 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
hernanlopezpardo
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« : 14/11/2017, 04:42:20 pm »

Que tal, tengo este ejercicio entre manos.
Hallar c>1  / [texx]\displaystyle\int_{0}^{c}x|x-1|dx=\frac{1}{3}[/texx]

Desarrollé el módulo de la siguiente forma
[texx]x>1 , (x-1)>0[/texx]
[texx]x<1 , -x+1)<0[/texx]
[texx]x=1 , (x-1)=0[/texx]

El integrando es para valores mayores a cero asi que puedo usar (x-1) sin las barras de módulo, me quedaria.
 [texx]\displaystyle\int_{0}^{c}(x^2-x)dx=\displaystyle\frac{1}{3}[/texx]
 [texx]\displaystyle\frac{1}{3}c^3-\displaystyle\frac{1}{2}c^2=\displaystyle\frac{1}{3}[/texx]

¿Cómo podría calcular las raíces?.
Muchas gracias.
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #1 : 14/11/2017, 05:02:29 pm »

Que tal, tengo este ejercicio entre manos.
Hallar c>1  / [texx]\displaystyle\int_{0}^{c}x|x-1|dx=\displaystyle\frac{1}{3}[/texx]

Desarrolle el módulo de la siguiente forma
[texx]x>1 , (x-1)>0[/texx]
[texx]x<1 , -x+1)<0[/texx]
[texx]x=1 , (x-1)=0[/texx]

El integrando es para valores mayores a cero asi que puedo usar (x-1) sin las barras de módulo, me quedaria.
 [texx]\displaystyle\int_{0}^{c}(x^2-x)dx=\displaystyle\frac{1}{3}[/texx]
 [texx]\displaystyle\frac{1}{3}c^3-\displaystyle\frac{1}{2}c^2=\displaystyle\frac{1}{3}[/texx]

Como podria calcular las raices?.
Muchas gracias.

Veamos,

[texx]\left |{x-1}\right |=\begin{cases} 1 - x & \text{si}& x < 1\\x - 1 & \text{si}& x\geq{}1\end{cases}[/texx]

Entonces la integral la debes separa en dos partes:

[texx]\displaystyle\int_{0}^{c}x\left |{x-1}\right |dx= \displaystyle\int_{0}^{1}x(1-x) dx + \displaystyle\int_{1}^{c}x(x-1)dx \\

= \displaystyle\frac{1}{6} + \left(\displaystyle\frac{c^3}{3} - \displaystyle\frac{c^2}{2} + \displaystyle\frac{1}{6}\right) = \displaystyle\frac{1}{3}[/texx]

Entonces se cancelan los términos independientes y te queda una ecuación muy fácil de resolver.

Saludos,
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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
hernanlopezpardo
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« Respuesta #2 : 14/11/2017, 07:11:40 pm »

Ahora si, muchas gracias.
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