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Autor Tema: Desigualdad  (Leído 162 veces)
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conchivgr
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« : 14/11/2017, 04:05:35 pm »

Hola.

Si [texx]z[/texx] y [texx]t[/texx] son dos numeros complejos y [texx]R>0[/texx], ¿como demuestro que

[texx]\left |{\displaystyle\frac{R(z-t)}{R^2-\bar{t}z}}\right |<1[/texx] ?

Besos.
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« Respuesta #1 : 14/11/2017, 06:57:13 pm »

Es útil observar que [texx]\bar t z=\langle z, t\rangle[/texx], es decir, representa el producto interior estándar en el espacio vectorial complejo [texx]\Bbb C[/texx], y que

[texx]\displaystyle|z-t|^2=\langle z-t,z-t\rangle=|z|^2+|t|^2-2\Re\langle z,t\rangle=|z|^2+|t|^2-2\Re(\bar tz)[/texx]

Por lo que elevando al cuadrado a ambos lados y arreglando un poco la desigualdad nos queda:

[texx]\displaystyle R^2(|z|^2+|t|^2-2\Re(\bar t z))<R^4+|\bar t z|^2- 2R^2\Re(\bar t z)\implies |z|^2+|t|^2<R^2+|zt/R|^2,\quad R^2\neq\bar t z\text{ y }R\neq 0[/texx]

Sin embargo si resultase que [texx]z=0[/texx] ó [texx]t=0[/texx] la desigualdad no se cumpliría, así que a priori estos casos deberían quedar fuera de la desigualdad. Pero vemos que la desigualdad se incumple tomando [texx]z,t\in\mathrm S^1[/texx] y [texx]R=1[/texx], por lo cual (salvo que me haya equivocado en algún punto, y a falta de alguna restricción) la desigualdad es falsa.

De hecho la desigualdad anterior se puede estudiar mejor como [texx]a+b<c+ab/c[/texx] para [texx]a,b\ge 0[/texx] y [texx]c>0[/texx].

Corregido.


AÑADIDO: definiendo la función [texx]f(x,y;h):=h(x+y)-h^2-xy[/texx] se puede ver que existen muchos puntos en los que la función es positiva para [texx]x,y,h>0[/texx]:

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conchivgr
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« Respuesta #2 : 15/11/2017, 08:02:44 am »

Hola.

De hecho, esa expresión pertenece a la Fórmula de Jansen, donde [texx]f(z)[/texx] es analítica en el círculo [texx]\bar{B}(0,1)[/texx] y los complejos [texx]t[/texx] son los ceros de la función dentro del círculo, no en la frontera.

Creo que con esos constraints la desigualdad se cumple.

Gracias.

Besos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 15/11/2017, 08:31:26 am »

Hola

 ¿Podrías detallar más y contextualizar exactamente donde te surge esa desigualdad?.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 15/11/2017, 10:27:32 am »

Hola.

De hecho, esa expresión pertenece a la Fórmula de Jansen, donde [texx]f(z)[/texx] es analítica en el círculo [texx]\bar{B}(0,1)[/texx] y los complejos [texx]t[/texx] son los ceros de la función dentro del círculo, no en la frontera.

Creo que con esos constraints la desigualdad se cumple.

Gracias.

Besos.

¿Te refieres a que [texx]z,t\in B(0,R)[/texx] con [texx]0<R<1[/texx]?

En ese caso se podría estudiar la función [texx]f(R,z,t):=R^2(|z|^2+|t|^2)-R^4-|tz|^2[/texx] analíticamente para tal dominio, que puede re-escribirse como [texx]f(a,b,c):=a(b+c)-a^2-bc[/texx] tal que [texx]0\le b,c<a<1[/texx], o como [texx]f(a,m,p):=a2m-a^2-p[/texx] tal que [texx]0\le p<m<a<1[/texx].
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conchivgr
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« Respuesta #5 : 15/11/2017, 12:34:33 pm »

Hola.

Si, cómo no.

Tenemos que [texx]f(z)[/texx] es analítica en [texx]\bar{B}(0,R)[/texx].

Al no tener polos, la Fórmula de Jansen-Poisson es (con K positivo y [texx]M[/texx] el número de ceros de [texx]f[/texx] en B(0,1) [texx]\bar{B}(0,R)[/texx]):

[texx]log\left |{f(z)}\right |=K+\displaystyle\sum_{k=1}^{k=M}{log\left |{\displaystyle\frac{R(z-t_k)}{R^2-\bar{t_k}z}}\right |}\leq{K}[/texx]

porque [texx]\left |{\displaystyle\frac{R(z-t_k)}{R^2-\bar{t_k}z}}\right |<1[/texx]

por lo que

[texx]log\left |{\displaystyle\frac{R(z-t_k)}{R^2-\bar{t_k}z}}\right |\leq{0}[/texx]

Besos.
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Abdulai
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« Respuesta #6 : 15/11/2017, 12:37:06 pm »

Hola.

Si [texx]z[/texx] y [texx]t[/texx] son dos numeros complejos y [texx]R>0[/texx], ¿como demuestro que

[texx]\left |{\displaystyle\frac{R(z-t)}{R^2-\bar{t}z}}\right |<1[/texx] ?

Besos.

Como     [texx]\left |{\dfrac{R(z-t)}{R^2-\bar{t}z}}\right | = \left |{\dfrac{\frac{z}{R}-\frac{t}{R}}{1-\frac{\bar{t}}{R} \frac{z}{R}}}\right |[/texx]

esto es equivalente a  [texx]\left |{\dfrac{z-t}{1-\bar{t}z}}\right |<1 \;\;\longrightarrow\;\;  \left |1-\bar{t}z \right|^2-\left |z-t\right |^2 > 0[/texx]


en forma polar  [texx]z=a e^{i\theta_a} \;;\; t=b e^{i\theta_b}[/texx]

entonces  [texx]\left |1-\bar{t}z \right|^2-\left |z-t\right |^2 = \cdots = a^2 b^2 - a^2 - b^2 + 1 = (1-a^2)(1-b^2)[/texx]

Por lo tanto para verificar la desigualdad falta una restricción  en los módulos de [texx]z[/texx] y [texx]t[/texx]


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Luis Fuentes
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« Respuesta #7 : 16/11/2017, 06:16:27 am »

Hola

Como     [texx]\left |{\dfrac{R(z-t)}{R^2-\bar{t}z}}\right | = \left |{\dfrac{\frac{z}{R}-\frac{t}{R}}{1-\frac{\bar{t}}{R} \frac{z}{R}}}\right |[/texx]

esto es equivalente a  [texx]\left |{\dfrac{z-t}{1-\bar{t}z}}\right |<1 \;\;\longrightarrow\;\;  \left |1-\bar{t}z \right|^2-\left |z-t\right |^2 > 0[/texx]


en forma polar  [texx]z=a e^{i\theta_a} \;;\; t=b e^{i\theta_b}[/texx]

entonces  [texx]\left |1-\bar{t}z \right|^2-\left |z-t\right |^2 = \cdots = a^2 b^2 - a^2 - b^2 + 1 = (1-a^2)(1-b^2)[/texx]

Por lo tanto para verificar la desigualdad falta una restricción  en los módulos de [texx]z[/texx] y [texx]t[/texx]

En concreto, si no me equivoco, ahí Abdulai ha deducido que la desigualdad se cumple o bien si [texx]z[/texx] y [texx]t[/texx] están ambos dentro de la bola [texx]B(0,R)[/texx] o bien si están ambos fuera de ella.

Saludos.
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conchivgr
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« Respuesta #8 : 18/11/2017, 09:48:13 am »

Hola.

Exactamente, tanto [texx]z[/texx] como [texx]t[/texx] están dentro de [texx]\overline{B}(0,R)[/texx], acabo de corregir la restricción.

Muchas gracias.

Besos.
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