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Autor Tema: Base y dimensión  (Leído 69 veces)
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Ranhia
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« : 14/11/2017, 01:52:10 pm »

Hola:

No recuerdo esta materia y he buscado pero no entiendo. Me dan 2 subespacios:

Dados [texx]S=gen(\left\{{x^2+x+1,1-x^2}\right\})[/texx] y [texx]T=gen(\left\{{1,3x^2+2x+1,3x^2+2x}\right\})[/texx] determinar:

(a) Base y dimensión de: [texx]S+T,S\cap{T},S\oplus{T}[/texx]

Cualquier información me sirve, gracias!!!
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 14/11/2017, 02:03:54 pm »

Hola

No recuerdo esta materia y he buscado pero no entiendo. Me dan 2 subespacios:

Dados [texx]S=gen(\left\{{x^2+x+1,1-x^2}\right\})[/texx] y [texx]T=gen(\left\{{1,3x^2+2x+1,3x^2+2x}\right\})[/texx] determinar:

(a) Base y dimensión de: [texx]S+T,S\cap{T},S\oplus{T}[/texx]

Cualquier información me sirve, gracias!!!

Estás trabajando en el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que dos.

Así que lo más cómodo primero es expresar todos los datos que tenemos en función de la base canónica de ese espacio : [texx]C=\{1,x,x^2\}[/texx].

Por ejemplo:

[texx]x^2+x+1=1\cdot 1+1\cdot x+1\cdot x^2=(1,1,1)_C[/texx]
[texx]3x^2+x+1=1\cdot 1+1\cdot x+3\cdot x^2=(1,1,3)_C[/texx]

Entonces:

[texx]S=gen\{(1,1,1)_C,(1,0,-1)_C\}[/texx]
[texx]T=gen\{(1,0,0)_C,(1,2,3)_C,(0,2,3)_C\}[/texx]

Entonces en primer lugar calculamos una base de [texx]S[/texx] y [texx]T[/texx] eliminando los posibles vectores dependientes. Para ello ponemos los vectores como filas de una matriz y escalonamos mediante operaciones fila. Por ejemplo para [texx]T[/texx]:

[texx]\begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}\\{1}&{2}&{3}\\{0}&{2}&{3}\end{pmatrix}\to
\begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{2}&{3}\\{0}&{2}&{3}\end{pmatrix}\to
\begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{2}&{3}\\{0}&{0}&{0}\end{pmatrix}[/texx]


De donde:

[texx]T=gen\{(1,0,0)_C,(0,2,3)_C\}[/texx] (ahora sabemos que son independientes y así [texx]dim(T)=2[/texx])

Análogamente:

[texx]S=gen\{(1,1,1)_C(0,-1,-2)_C\}[/texx] y [texx]dim(S)=2[/texx]

El espacio suma está generado por los generadores de uno y otro:

[texx]S+T=gen\{(1,0,0)_C,(0,2,3)_C,(1,1,1)_C,(0,-1,-2)_C\}[/texx]

Elimina los vectores dependientes de igual forma: montando la matriz de coordenadas y escalonando por filas.

Para la intersección halla las ecuaciones implícitas de [texx]S[/texx] y [texx]T[/texx]. Por ejemplo para [texx]T:[/texx]

[texx](a_0,a_1,a_2)=\lambda(1,0,0)+\beta(0,2,3)[/texx]

[texx]a_0=\lambda_1,\qquad a_1=2\beta,\qquad a_2=3\beta[/texx]

Eliminando parámetros queda [texx]3a_1-2a_3=0[/texx].

Las ecuaciones implícitas de la intersección son las ecuaciones de implícitas de [texx]S[/texx] y [texx]T[/texx] unidas.

Termina...

Saludos.
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Ranhia
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« Respuesta #2 : 14/11/2017, 05:38:32 pm »

Muchas gracias  :sonrisa: :sonrisa: :sonrisa:
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