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Autor Tema: Campo conservativo  (Leído 79 veces)
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FMCh
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« : 14/11/2017, 12:07:39 am »

Buen día.

Quiero preguntar sobre el siguiente ejercicio que no comprendo.

Suponga que [texx]B\subset{\mathbb{R}^n}[/texx] es abierto y arco-conexo y que [texx] \vec{F} : B \longrightarrow{\mathbb{R}^n}[/texx] es un campo vectorial continuo y conservativo. Sea [texx]\vec{P}[/texx] un punto de [texx]B[/texx], el cual fijaremos. Para cada [texx]\vec{X}\in{B}[/texx], definamos:
[texx]h(\vec{X}):=\displaystyle\int_{\vec{P}}^{\vec{X}} \vec{F} \bullet d\vec{s}[/texx]. Demuestre que [texx]\Delta h=\vec{F}[/texx]

No sé como empezar, quisiera saber si me podrían dar una indicación.

Saludos,
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 14/11/2017, 07:17:23 am »

Hola

Buen día.

Quiero preguntar sobre el siguiente ejercicio que no comprendo.

Suponga que [texx]B\subset{\mathbb{R}^n}[/texx] es abierto y arco-conexo y que [texx] \vec{F} : B \longrightarrow{\mathbb{R}^n}[/texx] es un campo vectorial continuo y conservativo. Sea [texx]\vec{P}[/texx] un punto de [texx]B[/texx], el cual fijaremos. Para cada [texx]\vec{X}\in{B}[/texx], definamos:
[texx]h(\vec{X}):=\displaystyle\int_{\vec{P}}^{\vec{X}} \vec{F} \bullet d\vec{s}[/texx]. Demuestre que [texx]\Delta h=\vec{F}[/texx]

No sé como empezar, quisiera saber si me podrían dar una indicación.

En primer lugar por ser el cambo conservativo, la aplicación está bien definida ya que la integral no depende  del camino.

En segundo lugar prueba el resultado para una bola centrada en [texx]\vec{P}[/texx] tomando como camino para cada [texx]\vec x[/texx]:

[texx]\alpha(t)=\vec P+t(\vec x-\vec P) [/texx]

con [texx]t\in [0,1][/texx]

Luego ten en cuenta que en el caso general puedes dividir un camino en varios tramos cada uno de los cuales está contenido en una bola abierta.

Saludos.
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FMCh
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« Respuesta #2 : 14/11/2017, 10:58:52 pm »

Hola Luis, gracias por la respuesta.

Hola

En segundo lugar prueba el resultado para una bola centrada en [texx]\vec{P}[/texx] tomando como camino para cada [texx]\vec x[/texx]:

[texx]\alpha(t)=\vec P+t(\vec x-\vec P) [/texx]

con [texx]t\in [0,1][/texx]

Luego ten en cuenta que en el caso general puedes dividir un camino en varios tramos cada uno de los cuales está contenido en una bola abierta.

Saludos.

Para esta tercera parte, ¿es independiente del camino que tome? ¿Sentido positivo (antihorario) o como se toma dicho camino?
No comprendo bien la idea,
Saludos,
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 15/11/2017, 08:16:53 am »

Hola

Para esta tercera parte, ¿es independiente del camino que tome? ¿Sentido positivo (antihorario) o como se toma dicho camino?
No comprendo bien la idea,
Saludos,

Estoy hablando de caminos, no de circuitos, no de caminos cerrados. Por ejemplo la propia definición de la función que te dan:

[texx]h(\vec{X}):=\displaystyle\int_{\vec{P}}^{\vec{X}} \vec{F} \bullet d\vec{s}[/texx]

se utiliza un camino que va desde [texx]\vec{P}[/texx] a [texx]\vec{X}[/texx] (el "sentido" no es horario o antihorario sino del punto inicial al final).

El que el campo sea conservativo garantiza que la integral no dependa del camino elegido.

Lo que digo entonces es que puedes dividir el camino en varios trazos: [texx]\vec P\to\vec P_1\to \vec P_2\to \ldots \to P_n\vec X[/texx], de forma que el último tramo esté contenido en una bola centrada en [texx]P_n[/texx] y aplicar ahí los pasos anteriores que te indiqué.

Saludos.
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