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Autor Tema: Grupo cíclico y subgrupos  (Leído 132 veces)
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lcdeoro
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« : 13/11/2017, 11:36:58 pm »

sea [texx]G=\left<{a}\right>[/texx] cíclico de orden [texx]n[/texx]. Probar que si H<G entonces [texx]H=\left<{a^m}\right>[/texx] donde [texx]m=min\left\{{k\ tal\ que\ a^k\in{H} }\right\}[/texx] y [texx]\left |{H}\right |=n/m[/texx].
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manooooh
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« Respuesta #1 : 14/11/2017, 01:03:23 am »

sea [texx]G=\left<{a}\right>[/texx] cíclico de orden [texx]n[/texx]. Probar que si H<G entonces [texx]H=\left<{a^m}\right>[/texx] donde [texx]m=min\left\{{k\ tal\ que\ a^k\in{H} }\right\}[/texx] y [texx]\left |{H}\right |=n/m[/texx].

Hola, ¿no es acaso el teorema de Lagrange?

Saludos
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Luis Fuentes
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« Respuesta #2 : 14/11/2017, 05:27:21 am »

Hola

sea [texx]G=\left<{a}\right>[/texx] cíclico de orden [texx]n[/texx]. Probar que si H<G entonces [texx]H=\left<{a^m}\right>[/texx] donde [texx]m=min\left\{{k\ tal\ que\ a^k\in{H} }\right\}[/texx] y [texx]\left |{H}\right |=n/m[/texx].

Hola, ¿no es acaso el teorema de Lagrange?

No exactamente. El Teorema de Lagrange simplemente nos dice que el orden de un subgrupo es divisor del orden de un grupo.

Aquí estamos diciendo algo más, estamos afirmando que todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico y dando un criterio para localizar su generador.

Quizá debería de aclararse que: [texx]m=min\left\{{k\in \color{rec}\mathbb{N}\color{black}\ tal\ que\ a^k\in{H} }\right\}[/texx] para descartar que [texx]m=0[/texx].

La prueba sería:

1) Es claro por la definición de [texx]m[/texx] que [texx]a^m\in H[/texx]. Y por tanto [texx]<a^m>\subset H[/texx].
2) Sea [texx]a^k\in H[/texx], por la división euclidea [texx]k=cm+r[/texx] con [texx]0\leq r<m[/texx]. Entonces [texx]a^r=a^{k-cm}=a^k(a^{m})^{-c}\in H.[/texx] Pero como [texx]r<m=m=min\left\{{k\in \mathbb{N}\ tal\ que\ a^k\in{H} }\right\}[/texx], entonces necesariamente [texx]r=0[/texx] y así [texx]a^k=(a^{m})^c.[/texx] Por tanto [texx]H\subset <a^m>[/texx].

Saludos.
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lcdeoro
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« Respuesta #3 : 14/11/2017, 08:14:38 pm »

Hola

sea [texx]G=\left<{a}\right>[/texx] cíclico de orden [texx]n[/texx]. Probar que si H<G entonces [texx]H=\left<{a^m}\right>[/texx] donde [texx]m=min\left\{{k\ tal\ que\ a^k\in{H} }\right\}[/texx] y [texx]\left |{H}\right |=n/m[/texx].

Hola, ¿no es acaso el teorema de Lagrange?

No exactamente. El Teorema de Lagrange simplemente nos dice que el orden de un subgrupo es divisor del orden de un grupo.

Aquí estamos diciendo algo más, estamos afirmando que todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico y dando un criterio para localizar su generador.

Quizá debería de aclararse que: [texx]m=min\left\{{k\in \color{rec}\mathbb{N}\color{black}\ tal\ que\ a^k\in{H} }\right\}[/texx] para descartar que [texx]m=0[/texx].

La prueba sería:

1) Es claro por la definición de [texx]m[/texx] que [texx]a^m\in H[/texx]. Y por tanto [texx]<a^m>\subset H[/texx].
2) Sea [texx]a^k\in H[/texx], por la división euclidea [texx]k=cm+r[/texx] con [texx]0\leq r<m[/texx]. Entonces [texx]a^r=a^{k-cm}=a^k(a^{m})^{-c}\in H.[/texx] Pero como [texx]r<m=m=min\left\{{k\in \mathbb{N}\ tal\ que\ a^k\in{H} }\right\}[/texx], entonces necesariamente [texx]r=0[/texx] y así [texx]a^k=(a^{m})^c.[/texx] Por tanto [texx]H\subset <a^m>[/texx].

Saludos.

Gracias Luis.
Todo claro.

Teniendo en cuenta que [texx]G=\left<{a}\right>[/texx] cíclico de orden [texx]n[/texx]
Ahora si [texx]d[/texx] es un entero, y [texx]d[/texx] divide a [texx]n[/texx] entonces existe un único subgrupo [texx]H[/texx] de [texx]G[/texx] con orden igual a [texx]d[/texx]. además [texx]H=\left<{a^{n/d}}\right>[/texx]

Como próbaría esto?
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« Respuesta #4 : 15/11/2017, 05:37:53 am »

Hola

Teniendo en cuenta que [texx]G=\left<{a}\right>[/texx] cíclico de orden [texx]n[/texx]
Ahora si [texx]d[/texx] es un entero, y [texx]d[/texx] divide a [texx]n[/texx] entonces existe un único subgrupo [texx]H[/texx] de [texx]G[/texx] con orden igual a [texx]d[/texx]. además [texx]H=\left<{a^{n/d}}\right>[/texx]

Continuando con lo anterior, veamos que ese [texx]m=min\left\{{k\in \mathbb{N}\ tal\ que\ a^k\in{H} }\right\}[/texx] es divisor de [texx]n[/texx]. En caso contrario tendríamos que [texx]1\leq d=mcd(m,n)<m[/texx]. Entonces por el Algoritmo de Euclides existen [texx]p,q[/texx] enteros tales que [texx]mq+pn=d[/texx] y así:

[texx]a^d=a^{mq+qn}=(a^m)^q(a^n)^p=(a^m)^q\in H[/texx]

y eso contradice que [texx]m[/texx] ese el mínimo con esa  propiedad.

Es decir lo que hemos probado es que todo subgrupo [texx]H[/texx] es de la forma [texx]<a^m>[/texx] con [texx]m[/texx] divisor de [texx]n[/texx]. Ese grupo tiene orden [texx]n/m[/texx] y por tanto es de hecho el único subgrupo de orden [texx]d=n/m[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #5 : 15/11/2017, 02:08:25 pm »

Hola

Es decir lo que hemos probado es que todo subgrupo [texx]H[/texx] es de la forma [texx]<a^m>[/texx] con [texx]m[/texx] divisor de [texx]n[/texx]. Ese grupo tiene orden [texx]n/m[/texx] y por tanto es de hecho el único subgrupo de orden [texx]d=n/m[/texx].


No entiendo bien la parte que esta en rojo, por qué dices que  tiene orden [texx]n/m[/texx]? y cómo sé que [texx]d=n/m[/texx]?

Podrías explicarme por favor.

Gracias.
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« Respuesta #6 : 15/11/2017, 02:38:30 pm »

Quizas esto te ayude:

Sea [texx]G=\left<{g}\right>[/texx] un grupo cíclico finito. Entonces [texx]\left |{g^k}\right |=\left |{\left<{g^k}\right>}\right |[/texx]. Por otra parte [texx]\left |{g^k}\right |=\displaystyle\frac{\left |{g}\right |}{mcd(\left |{g}\right |,k)}[/texx].


Saludos.
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« Respuesta #7 : 16/11/2017, 06:22:52 am »

Hola

 Además de lo que te indica serpa...

No entiendo bien la parte que esta en rojo, por qué dices que  tiene orden [texx]n/m[/texx]?

Digo que tiene orden [texx]n/m[/texx], por que los elementos de [texx]H[/texx] son potencias de [texx]a^m[/texx]. Dado que G es cíclico de orden n con generador [texx]a[/texx], sabemos que:

[texx](a^m)^0,(a^m)^1,\ldots (a^m)^{(m/n)-1})=a^{n-m}[/texx]

son todos elementos distintos de [texx]H[/texx]; pero la siguiente potencia [texx](a^m)^{n/m}=a^0=3[/texx] ya es el neutro luego a partir de ahí las potencias se repiten cíclicamente.

y cómo sé que [texx]d=n/m[/texx]?

Simplemente nos dicen que probemos que [texx]d[/texx] es un entero y [texx]d[/texx] divide a [texx]m[/texx] existe un único subgrupo con orden [texx]d[/texx]. Acabo de ver antes que los subgrupos son todos cíclicos generador por [texx]a^m[/texx] con [texx]m[/texx] divisor de [texx]n[/texx] y eso nos da un grupo de orden [texx]m/n[/texx]. Por tanto si queremos un subgrupo de orden [texx]d,[/texx] necesariamente [texx]d=n/m[/texx].

Saludos.
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