Foros de matemática
22/11/2017, 04:10:35 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Renovado el procedimiento de inserción de archivos GEOGEBRA en los mensajes.
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Ejercicios de orden de un subgrupo y red  (Leído 82 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 148


Ver Perfil
« : 13/11/2017, 08:32:56 pm »

Hola a todos! El enunciado está adjunto en la imagen.





Punto a):

Falso.
[texx]D_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}[/texx]
[texx]D_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}[/texx]
Luego [texx]\boxed{\left |{H \cap{} K}\right | = \{1, 2, 3, 6\}}[/texx].

Punto b):

Verdadero.
[texx]66 = 2 \cdot{} 3 \cdot{} 11[/texx], y como cada primo se repite una sola vez [texx]\Rightarrow{} \boxed{D_{66} \textrm{ es red distributiva y complementada}}[/texx].



¿Pueden corregirme si hay algo mal por favor?

Gracias!!

* EjercicioN5.jpg (132.09 KB - descargado 13 veces.)
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 40.308


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 14/11/2017, 06:07:44 am »

Hola

Hola a todos! El enunciado está adjunto en la imagen.





Punto a):

Falso.
[texx]D_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}[/texx]
[texx]D_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}[/texx]
Luego [texx]\boxed{\left |{H \cap{} K}\right | = \{1, 2, 3, 6\}}[/texx].

Punto b):

Verdadero.
[texx]66 = 2 \cdot{} 3 \cdot{} 11[/texx], y como cada primo se repite una sola vez [texx]\Rightarrow{} \boxed{D_{66} \textrm{ es red distributiva y complementada}}[/texx].



¿Pueden corregirme si hay algo mal por favor?

Está todo bien... aunque quizá en el primero cabría matizar algo.

El Teorema de Lagrange nos dice que el orden de [texx]|H\cap K|[/texx] es divisor del orden de [texx]H[/texx] y del orden [texx]K[/texx]. Por tanto el Teorema de Lagrange aplicado a nuestro caso nos permite afirmar que los posibles órdenes de [texx]H\cap K[/texx] son [texx]\{1,2,3,6\}[/texx].

Pero no nos permite afirmar (por si sólo) que necesariamente haya ejemplos donde se alcancen esos órdenes. Entonces para si quieres justificar rigurosamente que todos esos órdenes son posibles y por tanto que no es cierto lo que dice el enunciado de que sólo son posibles [texx]2[/texx] y [texx]3[/texx] debes de dar ejemplos concretos donde [texx]|H|=18[/texx], [texx]|K|=24[/texx]  y [texx]|H\cap K|[/texx] sea [texx]1[/texx] ó 6.

Saludos.
En línea
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 148


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 14/11/2017, 09:13:42 am »

Hola

Hola a todos! El enunciado está adjunto en la imagen.





Punto a):

Falso.
[texx]D_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}[/texx]
[texx]D_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}[/texx]
Luego [texx]\boxed{\left |{H \cap{} K}\right | = \{1, 2, 3, 6\}}[/texx].

Punto b):

Verdadero.
[texx]66 = 2 \cdot{} 3 \cdot{} 11[/texx], y como cada primo se repite una sola vez [texx]\Rightarrow{} \boxed{D_{66} \textrm{ es red distributiva y complementada}}[/texx].



¿Pueden corregirme si hay algo mal por favor?

Está todo bien... aunque quizá en el primero cabría matizar algo.

El Teorema de Lagrange nos dice que el orden de [texx]|H\cap K|[/texx] es divisor del orden de [texx]H[/texx] y del orden [texx]K[/texx]. Por tanto el Teorema de Lagrange aplicado a nuestro caso nos permite afirmar que los posibles órdenes de [texx]H\cap K[/texx] son [texx]\{1,2,3,6\}[/texx].

Pero no nos permite afirmar (por si sólo) que necesariamente haya ejemplos donde se alcancen esos órdenes. Entonces para si quieres justificar rigurosamente que todos esos órdenes son posibles y por tanto que no es cierto lo que dice el enunciado de que sólo son posibles [texx]2[/texx] y [texx]3[/texx] debes de dar ejemplos concretos donde [texx]|H|=18[/texx], [texx]|K|=24[/texx]  y [texx]|H\cap K|[/texx] sea [texx]1[/texx] ó 6.

Saludos.

Hola, debería haber puesto "Sean [texx]H[/texx] y [texx]K[/texx] subgrupos de un grupo finito [texx]G[/texx] tales que [texx]\left |{H}\right | = 18[/texx] y [texx]\left |{K}\right | = 24[/texx]". Luego hago lo mismo que hice pero sólo poniendo como órdenes 1 y 6... ¿por ejemplo? ¿Podría haber elegido sólo el orden 1? ¿O 1 y 6? ¿O 1 y 3? Entiendo que querés decir que no necesariamente la intersección cumple con todos y cada uno de los órdenes.

Saludos
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 40.308


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 14/11/2017, 11:37:50 am »

Hola

Hola, debería haber puesto "Sean [texx]H[/texx] y [texx]K[/texx] subgrupos de un grupo finito [texx]G[/texx] tales que [texx]\left |{H}\right | = 18[/texx] y [texx]\left |{K}\right | = 24[/texx]". Luego hago lo mismo que hice pero sólo poniendo como órdenes 1 y 6... ¿por ejemplo? ¿Podría haber elegido sólo el orden 1? ¿O 1 y 6? ¿O 1 y 3? Entiendo que querés decir que no necesariamente la intersección cumple con todos y cada uno de los órdenes.

Lo que quiero decir es que si tu quieres refutar la afirmación:  "si [texx]H,K[/texx] son subgrupos de un grupo finito [texx]G[/texx], tales que [texx]|H|=18[/texx] y [texx]|K|=24[/texx] los posibles órdenes de [texx]H\cap K[/texx] son [texx]2[/texx] y [texx]3[/texx]", tienes que dar un ejemplo concreto de un grupo finito [texx]G[/texx],y dos sugrupos [texx]|H|=18[/texx] y [texx]|K|=24[/texx] en los que el orden de [texx]|H\cap K|[/texx] no sea ni [texx]2[/texx] ni [texx]6[/texx].

Por ejemplo: [texx]G=\mathbb{Z}_{18}\times \mathbb{Z}_{24},\quad H=\mathbb{Z}_{18}\times  \{0\},\quad K=\{0\}\times \mathbb{Z}_{24}[/texx].

Saludos.
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!