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BobaJ
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« : 13/11/2017, 07:49:40 pm »

Hola. Como se podría demostrar lo siguiente?

Sea f: A [texx]\rightarrow{}[/texx] B una función tal que [texx]\frac{{\partial f}}{{\partial x}}[/texx] and [texx]\frac{{\partial f}}{{\partial y}}[/texx] existen y son continuas. Suponga que f es biyeciva y preserva ángulos. Entonces, f es analítica y conforme.

Muchas gracias
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 14/11/2017, 06:51:41 am »

Hola

Sea f: A [texx]\rightarrow{}[/texx] B una función tal que [texx]\frac{{\partial f}}{{\partial x}}[/texx] and [texx]\frac{{\partial f}}{{\partial y}}[/texx] existen y son continuas. Suponga que f es biyeciva y preserva ángulos. Entonces, f es analítica y conforme.

Si [texx]f(x,y)=(u(x,y),v(x,y))[/texx] para que preserve ángulos la matriz Jacobiana tiene que ser un múltilpo de una matriz de giro:

[texx]\begin{pmatrix}{u_x}&{u_y}\\{v_x}&{v_y}\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}{cos \theta}&{sin \theta}\\{-sin\theta}&{cos \theta}\end{pmatrix}[/texx]

De ahí puedes deducir directamente las condiciones de Cauchy-Riemann.

Saludos.
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