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Autor Tema: Problema planteado y saber si es correcto y cómo se soluciona  (Leído 158 veces)
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LuisYanesBello
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« : 13/11/2017, 07:26:04 pm »

Me han pasado este ejercicio para que lo haga (al parecer alguna vez salió en la antigua PAU)
Creo que es un problema de geometría del espacio con planos.
Que se trata de dos planos R y S y que se me pregunta por su intersección.

El problema me lo pasan así :
R :  x=lambda
     y=1-lambda
     z=3

S   x-1=y=z-3

Me piden
a) Coordenadas  del punto A de R \cap{}  S  (acabo de ingresar en el foro y no manejo los símbolos muy bien,quiero poner el símbolo de intersección de conjuntos)
b) Ecuación de (letra griega pi mayúscula) que contiene a R y S.

Gracias
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aladan
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« Respuesta #1 : 13/11/2017, 11:11:54 pm »

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Hola LuisYanesBello

Bienvenido al foro.

De todo lo que has escrito ahí se puede deducir el enunciado siguiente:

Dadas las rectas

   [texx]R\equiv{}\begin{cases}{ x=\lambda}\\y=1-\lambda \\z=3 \end{cases}\quad \quad S\equiv{ x-1=y=z-3}[/texx]

Hallar:
a:_ El punto    [texx]A=R\cap{S}[/texx]

b.- El plano [texx]\pi[/texx] que contiene ambas rectas.

Es un problema elemental de geometría analitica, ahora visto el enunciado correcto dime que parte del mismo te plantea dificultades y cuales son.

¡ Ah ! otra cosa antes de seguir participando en el foro dedica unos minutos a este enlace

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=678.0

Saludos
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« Respuesta #2 : 14/11/2017, 07:05:11 am »

No lo entiendo. Si me lo puedes resolver por favor.

Yo es que veo el primer plano como una nube de puntos en función de lambda.
De todas formas si me lo solucionas agradecido para darme cuenta.

Gracias
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #3 : 14/11/2017, 07:27:31 am »

No lo entiendo. Si me lo puedes resolver por favor.

Yo es que veo el primer plano como una nube de puntos en función de lambda.
De todas formas si me lo solucionas agradecido para darme cuenta.

Gracias


No se trata de planos, sino de rectas. En el primer caso, recta [texx]R[/texx], te dan la ecuación paramétrica de la recta, para cada valor de [texx]\lambda[/texx] tiene un punto [texx](x, y, z)[/texx] de la recta. De ella sabes directamente que la recta pasa por el punto [texx]A = (0, 1, 3)[/texx] y tiene la dirección del vector [texx]\overrightarrow{u}=(1, -1, 0)[/texx].

La recta S en cambio te la dan en forma continua: [texx]\displaystyle\frac{x-x_0}{v_1}=\displaystyle\frac{y-y_0}{v_2}=\displaystyle\frac{z-z_0}{v_3}[/texx]. A la vista de la ecuación, sabes entonces que pasa por el punto [texx]B=(1, 0, 3)[/texx] y tiene la dirección del vector [texx]\overrightarrow{v}=(1, 1, 1)[/texx].

Para hallar la intersección de ambas rectas, si es que la tienen, escribe las ecuaciones paramétricas de la segunda, utilizando otra letra para el parámetro, digamo [texx]\mu[/texx], e igualas las tres coordenadas. Te queda un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas, cuya solución, si es compatible y determinado, corresponde a los parámetros en cada recta del punto de intersección de ambas. Si el sistema resultase incompatible, las rectas se cruzan o son paralelas, y si es indeterminado en realidad ambas ecuaciones representarían la misma recta. Pero visiblemente no son paralelas, pues no lo son sus vectores de dirección, por lo que este último caso no se da.

En cuanto al plano que contiene a ambas rectas, si no son cruzadas, no tienes problemas: conoces dos vectores no paralelos entre si, los de cada recta, paralelos al plano y un punto, en realidad tres pero con uno llega, por el que pasa.

Intenta terminarlo con estas indicaciones y si no lo consigues pregunta por las dificultades concretas que encuentres.

Saludos de un chicharrero (exiliado ...)


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« Respuesta #4 : 14/11/2017, 08:30:38 am »


Hola, LuisYanesBello. Un poco de ayuda más.

Las ecuaciones paramétricas te dan información del punto y también del vector de la recta.

[texx]x=\lambda
 [/texx]

[texx]y=1-\lambda
 [/texx]

[texx]z=3
 [/texx]

Dando un valor, el valor que sea a lambda, obtienes un punto de la recta. Por otra parte, si despejas

los sumandos independientes de lambda, obtienes las coordenadas genéricas del vector:

[texx]x-0=\lambda
 [/texx]

[texx]y-1=-\lambda
 [/texx]

[texx]z-3=0
 [/texx]

Ese “menos cero” lo he puesto porque al punto (x,y,z) le hemos restado el punto (0,1,3) con lo cual, lo que queda al otro lado es el resultado de las coordenadas de un punto menos las de otro punto; es decir, un vector. Es el vector director de la recta, [texx](\lambda,-\lambda,0)
 [/texx]; donde puedes dar a lambda el valor que quieras para obtener un representante.

Y con las otras ecuaciones igual.

Como se trata de hallar un punto común, podemos hacer [texx]x=\lambda
 [/texx] también en las otras ecuaciones y obtener otras paramétricas para esa recta, entonces tienes, si lo sigues con atención...

[texx]x=\lambda
 [/texx]

[texx]y=\lambda-1
 [/texx]

[texx]\lambda-1=z-3
 [/texx] de donde sale [texx]z=\lambda+2
 [/texx]

Si igualas la primera no coordenada te dice nada [texx]\lambda=\lambda[/texx], pero la segunda ya sí ([texx]y=y\Rightarrow1-\lambda=\lambda-1
 [/texx]) de ahí obtendrás el valor de lambda, que es la coordenada “x” del punto de corte; y que te llevará casi inmediatamente a hallar las otras coordenadas (verás que los valores funcionarán correctamente en las paramétricas de ambas rectas; eso indica que existe el punto y que se cortan ahí).

Como ya, cuando lo hagas, sabrás un punto del plano (el de corte lo es, evidentemente) y también sabes hallar los dos vectores (dando un valor al parámetro y como te he dicho) sólo te queda escribir la ecuación vectorial del plano; y si quieres pasarla después a otra forma de ecuación.

Saludos.
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LuisYanesBello
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« Respuesta #5 : 18/11/2017, 07:41:15 am »

Tengo que dar efusivamente las gracias porque el recibimiento y atención han sido inmejorables y me siento obligado.

Voy a hacer otra consulta en relación a determinantes y matrices (sobre su interpretación gráfica para el caso matrices regulares de dimensión dos y tres, así como sus determinantes. Y algún programa que me permita expresar gráficamente los resultados....

Gracias un millón
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aladan
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« Respuesta #6 : 18/11/2017, 08:50:05 am »

Tengo que dar efusivamente las gracias porque el recibimiento y atención han sido inmejorables y me siento obligado.

.
Gracias un millón


Están muy bien esas muestras de agradeciminto, pero tengo una duda, ¿ realmente has leido y entendido las respuestas recibidas ? , creo que no y es más pienso que todavía no sabes diferenciar en [texx]\mathbb{R}^3[/texx] las diferentes formas de las ecuaciones de una recta y un plano, ¿ o me equivoco ?

Tu dirás.
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