Foros de matemática
22/11/2017, 04:08:38 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: ¡Atención! Hay que poner la matemática con LaTeX, y se hace así (clic aquí):
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Ejercicio de grupos y subgrupos  (Leído 73 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 148


Ver Perfil
« : 13/11/2017, 07:09:02 pm »

Hola a todos! El enunciado está adjunto en la imagen.





NOTA: [texx]\overline{a}[/texx] indica la clase de [texx]a[/texx].


Para hallar los inversibles de cualquier [texx]\mathbb{Z}_n[/texx] con la operación producto de clases, existe una propiedad que dice:
 [texx](\mathbb{Z}_n, \overline{\cdot{}}), \; Inv(\mathbb{Z_n}) = \{\overline{k}: (k, n) = 1, \quad 1 \leq{} k < n\}[/texx], por lo tanto

[texx]G = Inv(\mathbb{Z}_{14}) = \{\overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{9}, \overline{11}, \overline{13}\}[/texx].

La tabla de [texx]G[/texx] es:

[texx]
\begin{array}{ c | c c  }
     \overline{\cdot{}} & \overline{1} & \overline{3} & \overline{5} & \overline{9} & \overline{11} & \overline{13} \\ \hline
     \overline{1} & \overline{1} & \overline{3} & \overline{5} & \overline{9} & \overline{11} & \overline{13} \\
     \overline{3} & \overline{3} & \overline{9} & \overline{1} & \overline{13} & \overline{5} & \overline{11} \\
     \overline{5} & \overline{5} & \overline{1} & \overline{11} & \overline{3} & \overline{13} & \overline{9} \\
     \overline{9} & \overline{9} & \overline{13} & \overline{3} & \overline{11} & \overline{1} & \overline{5} \\
     \overline{11} & \overline{11} & \overline{5} & \overline{13} & \overline{1} & \overline{9} & \overline{3} \\
     \overline{13} & \overline{13} & \overline{11} & \overline{9} & \overline{5} & \overline{3} & \overline{1} \\
   \end{array}
 \qquad \begin{array}{ll} \textrm{Neutro: } & e = \overline{1} \\ \textrm{Simétricos: } & \\  & \left(\overline{1}\right)' = \overline{1} \\  & \left(\overline{3}\right)' = \overline{5} \\  & \left(\overline{5}\right)' = \overline{3} \\  & \left(\overline{9}\right)' = \overline{11} \\  & \left(\overline{11}\right)' = \overline{9} \\  & \left(\overline{13}\right)' = \overline{13} \end{array} [/texx]

Punto a):

Subgrupos de [texx]G[/texx]:
[texx]\boxed{\begin{array}{l} H_1 = \left<{\overline{1}}\right> = \{\overline{1}\} \\ H_2 = \left<{\overline{3}}\right> = \{\overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{9}, \overline{11}, \overline{13}\} = \left<{\overline{5}}\right> \\ H_3 = \left<{\overline{9}}\right> = \{\overline{1}, \overline{9}, \overline{11}\} = \left<{\overline{11}}\right> \\ H_4 = \left<{\overline{13}}\right> = \{\overline{1}, \overline{13}\} \end{array}}[/texx]

Red de subgrupos de [texx]G[/texx]


El grupo es cíclico pues existe un subgrupo tal que genera a todo el grupo, que es el [texx]H_2[/texx] (O bien como el grupo es conmutativo -los elementos de las triangulares superior e inferior coinciden- es cíclico).

Punto b):
[texx]H = \left<{\overline{9}}\right> = \{\overline{1}, \overline{9}, \overline{11}\}[/texx]. Como el grupo es conmutativo, todo subgrupo es normal, por lo que las clases laterales serán iguales (sólo voy a hacer una clase lateral, a izquierda por ejemplo):

[texx]\begin{array}{l} \overline{1} \overline{\cdot{}} H = H \\ \overline{3} \overline{\cdot{}} H = \{\overline{3}, \overline{13}, \overline{5}\}\\ \overline{5} \overline{\cdot{}} H = \{\overline{5}, \overline{3}, \overline{13}\}\\ \overline{9} \overline{\cdot{}} H = \{\overline{9}, \overline{11}, \overline{1}\}\\ \overline{11} \overline{\cdot{}} H = \{\overline{11}, \overline{1}, \overline{9}\}\\ \overline{13} \overline{\cdot{}} H = \{\overline{13}, \overline{5}, \overline{3}\}\end{array}[/texx]
por lo que el grupo cociente será

[texx]\boxed{\displaystyle\frac{G}{H} = \{\overline{1} \overline{\cdot{}} H, \overline{3} \overline{\cdot{}} H\} = \{H, \{\overline{3}, \overline{5}, \overline{11}\}\}}[/texx].



¿Pueden corregirme si hay algo mal por favor?

Mi única duda está en la última parte, la de las clases laterales a izquierda y a derecha; ¿debo hacer también a derecha?

Gracias!!

* EjercicioN1.jpg (139.71 KB - descargado 12 veces.)
* EjercicioN1a.jpg (9.42 KB - descargado 13 veces.)
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 40.308


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 14/11/2017, 05:54:22 am »

Hola

 Todo bien. Si el grupo es conmutativo no hay diferencia entre clases laterales a derecha y a izquierda.

Saludos.
En línea
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 148


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 14/11/2017, 09:04:56 am »

Hola

 Todo bien. Si el grupo es conmutativo no hay diferencia entre clases laterales a derecha y a izquierda.

Saludos.

Hola, wii, quería confirmarlo.

Gracias Luis! :sonrisa:
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!