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Autor Tema: Triangle Nature  (Leído 156 veces)
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jacks
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« : 13/11/2017, 11:20:30 am »

In a Triangle ABC,

 If  [texx]2(ab^2+bc^2+ca^2)=(a^2b+b^2c+c^2a)+3abc[/texx], Then nature of triangle is
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« Respuesta #1 : 30/11/2017, 01:22:27 am »

In a Triangle ABC,

 If  [texx]2(ab^2+bc^2+ca^2)=(a^2b+b^2c+c^2a)+3abc[/texx], Then nature of triangle is

i have tried like this way

[texx](ab^2-a^2b)+(bc^2-b^2c)+(ca^2-a^2c)+(ab^2-abc)+(bc^2-abc)+(ca^2-abc)=0[/texx]

[texx]ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)+ab(b-c)+bc(c-a)+ca(a-b)=0[/texx]

[texx]b(b-c)(a+c)+c(c-a)(a+b)+a(a-b)(b+c)=0[/texx]

substitute [texx]a=x+y,b=y+z,c=z+x[/texx]

[texx](y+z)(y-x)(2x+y+z)+(z+x)(z-x)(x+2y+z)+(x+y)(x-y)(y+2z+x)=0[/texx]

now struck here.
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #2 : 30/11/2017, 06:33:47 am »

In a Triangle ABC,

 If  [texx]2(ab^2+bc^2+ca^2)=(a^2b+b^2c+c^2a)+3abc[/texx], Then nature of triangle is

Without lost of generality, let [texx]c = 1[/texx]. Then,

[texx](2a-1)b^2 - (a^2 + 3a - 2)b + a(2a - 1) = 0[/texx]

[texx]b = \displaystyle\frac{(a^2 + 3a - 2)\pm{}\left |{a-1}\right |\sqrt[ ]{a^2-8a+4}}{2(2a-1)}[/texx]

Then [texx]a = 1 \,\Rightarrow{}\, b = 1[/texx] and the triangle is equilateral.

if [texx]a\neq{}1[/texx], in order to [texx]b\in{}\mathbb{R}[/texx], it must be

[texx]a^2 -8a + 4 \geq{}0\;\Longrightarrow{}\;a\leq{}4-2\sqrt[ ]{3}\approx{}0.54\; \vee \;a >4+2\sqrt[ ]{3}\approx{}7.46[/texx].

If [texx]0 \leq{} a \leq{} 4 - 2\sqrt[ ]{3}\;\Longrightarrow{}\; b\leq{}\displaystyle\frac{2-\sqrt[ ]{3}}{2}\approx{}0.13 \;\vee\;b>2[/texx], and there isn't a triangle by triangle inequality.

If [texx]a \geq{} 4 + 2\sqrt[ ]{3}\;\Longrightarrow{}\; b < a - c = a - 1[/texx], and also there isn't a triangle.

Then, the unique possibility is [texx]a = b = c = 1[/texx] and the triangle is equilateral.

There isn't a pretty solution, but it's the best I get ...

Best regards,
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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)
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