Hola
Si el intervalo va de [texx]x\in [0,2\pi][/texx]
[texx][0, 2\pi][/texx] se coge un punto intermedio, por ejemplo [texx]\pi[/texx]
No entiendo ya bien lo que haces.
Trabajamos con la función en [texx][0,2\pi].[/texx]
La derivada es [texx]f'(x)=2e^xcos(x)[/texx]. Lo primero es ver donde se anula:
[texx]f'(x)=0[/texx] si [texx]cos(x)=0[/texx] es decir si [texx]x=\pi/2[/texx] ó [texx]x=3\pi/2[/texx].
Entonces analiza el signo de la derivada en:
i) [texx][0,\pi/2)[/texx]
ii) [texx](\pi/2,3\pi/2)[/texx]
iii) [texx](3\pi/2,2\pi][/texx]
Saludos.