Estudiar crecimiento y extremos de una función

[mateinfo]

Buenas tardes:

Tengo dudas en como hacer este ejercicio, la derivada la saco [texx]f´(x)=2e^x(cosx)[/texx], pero me lio con la letra "e" , alguien me puede explicar como se hace.

Enunciado:

Estudiar el crecimiento de la función
[texx]f(x)=e^x(cosx+senx)[/texx]
y determine los máximo y mínimos de la función para [texx]x \in{}\left[\begin{array}{ccc}{0},{2\pi}\end{array}\right][/texx]

[Masacroso]

Estudiar el crecimiento es estudiar dónde la función crece y decrece, o en este caso como es una función diferenciable estudiar donde la derivada es positiva y negativa.

Ejemplo: la derivada de [texx]\sin x[/texx] es [texx]\cos x[/texx], y el coseno es positivo en los intervalos de tipo [texx](-\pi/2+k2\pi,\pi/2+2k\pi)[/texx] y negativo en los del tipo [texx](\pi/2+2k\pi,3\pi/2+2k\pi)[/texx] para todo [texx]k\in\Bbb Z[/texx] (y es cero en los múltiplos de [texx]\pi/2[/texx]). Por tanto el seno es una función creciente en donde el coseno es positivo, y decreciente donde el coseno es negativo.

Los máximos y mínimos relativos del interior de un intervalo de una función diferenciable se alcanzan en algunos de los puntos (quizá todos) donde la derivada se anula. Por tanto debes ver dónde se anula la derivada (es decir, dónde vale cero) y verificar luego si en esos puntos la función alcanza un máximo o un mínimo (esto último se puede hacer de muy diversas maneras, pero te ayudará el apartado anterior ya que si una función tiene un crecimiento distinto a los laterales de un punto entonces en ese punto alcanza un extremo relativo).

También debes ver si la función alcanza un mínimo o un máximo en los extremos del intervalo, es decir, en cero o en [texx]2\pi[/texx].

Ejemplo: siguiendo el ejemplo anterior los puntos donde se anula el coseno son los múltiplos de [texx]\pi/2[/texx] (múltiplos positivos y negativos). Como el coseno cambia de signo a los lados de todos estos puntos entonces estos puntos se corresponden a extremos relativos del seno, es decir, en los múltiplos de [texx]\pi/2[/texx] el seno tiene máximos o mínimos relativos.

[sugata]

Yo aporto para el problema de [texx]e[/texx].
Recuerda que [texx]e^x>0[/texx].
No he hecho los cálculos de la derivada, pero ésto te puede ayudar.

[mateinfo]

Si el intervalo va de [texx]x\in [0,2\pi][/texx]

[texx][0, 2\pi][/texx] se coge un punto intermedio, por ejemplo [texx]\pi[/texx]

Luego tendría dos intervalos:

primero [texx][0, pi][/texx] aqui se toma un valor entre [texx][0,\pi/2,\pi][/texx]

segundo [texx][\pi, 2\pi][/texx] aqui se toma un valor entre [texx][\pi, 3\pi/2, 2\pi[/texx]

Ahora le doy los valores [texx]\pi/2[/texx] y [texx]3\pi/2[/texx] a la función derivada para saber el signo, pero a partir de ahí el cálculo me lía, si alguien me ayuda se lo agradezco

[Luis Fuentes]

Hola

Si el intervalo va de [texx]x\in [0,2\pi][/texx]

[texx][0, 2\pi][/texx] se coge un punto intermedio, por ejemplo [texx]\pi[/texx]

No entiendo ya bien lo que haces.

Trabajamos con la función en [texx][0,2\pi].[/texx]

La derivada es [texx]f'(x)=2e^xcos(x)[/texx]. Lo primero es ver donde se anula:

[texx]f'(x)=0[/texx] si [texx]cos(x)=0[/texx] es decir si [texx]x=\pi/2[/texx] ó [texx]x=3\pi/2[/texx].

Entonces analiza el signo de la derivada en:

i) [texx][0,\pi/2)[/texx]
ii) [texx](\pi/2,3\pi/2)[/texx]
iii) [texx](3\pi/2,2\pi][/texx]

Saludos.