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Autor Tema: Dudas con problema matemático - divisibilidad  (Leído 852 veces)
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albertohu
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« : 15/11/2017, 12:53:51 pm »

Hola. Os propongo un problema que no hay forma de que nos salga. Es de 1º de ESO se lo ha mandado la profesora de mates, y a pesar de que mi hijo saca muy buenas notas, no hay forma de que demos con el truco.

Calcula tres parejas de números  a y b que cumplan [texx]m.c.m. (a,b)=2^4\cdot 3^5\cdot 7^2[/texx], [texx]m.c.d. (a,b)= 2 \cdot 7^2[/texx].

Se ruega contestación y exposición de la solución. Muchas gracias!!!!!!
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« Respuesta #1 : 15/11/2017, 02:08:57 pm »

O sea, según entiendo se buscan tres ejemplos de pares de números [texx](a,b)[/texx] que cumplan [texx]\operatorname{m.c.m.}(a,b)=2^4\cdot 3^5\cdot 7^2[/texx] y [texx]\operatorname{M.C.D.}(a,b)=2\cdot 7^2[/texx].

Llamaré [texx]M:=2\cdot 7^2[/texx] y [texx]m:=2^4\cdot 3^5\cdot 7^2[/texx]. Como [texx]M[/texx] es el máximo común divisor entonces tenemos que [texx]a=M\cdot n_1[/texx] y [texx]b=M\cdot n_2[/texx] con [texx]n_1[/texx] y [texx]n_2[/texx] primos entre sí, ya que de otro modo [texx]M[/texx] no sería su máximo común divisor.

Por otro lado tenemos que [texx]m[/texx] es su mínimo común múltiplo, es decir, que los factores de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] están presentes en [texx]m[/texx], por lo cual [texx]m=a\cdot b/M[/texx] por la definición de mínimo común múltiplo.

Por tanto debe cumplirse que [texx]a\cdot b=M\cdot m[/texx], [texx]a=M\cdot n_1[/texx] y [texx]b=M\cdot n_2[/texx], es decir, que [texx]\color{red}{m=M\cdot n_1\cdot n_2}[/texx] tales que [texx]n_1[/texx] y [texx]n_2[/texx] no tengan factores comunes.

CORREGIDO. (Gracias a robinlambada que se percató del error.)
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albertohu
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« Respuesta #2 : 15/11/2017, 02:23:59 pm »

Sí efectivamente, se trata de hallar tres parejas de números que cada pareja a y b cumplan en todos los casos que su mínimo común múltiplo sea [texx]2^4\cdot 3^5\cdot 7^2[/texx] y que su Máximo Común Divisor [texx]2\cdot 7^2[/texx]. Sabemos perfectamente como hallar los m.c.m y el M.C.D. de un número pero no viceversa. Tú respuesta es muy buena, pero uffff, no la acabo de entender no sé como aplicarla. Me temo que en 1º de ESO buscan la respuesta de otra forma y no con ese desarrollo que propones. ¿Alguna pista, o algunos números que cumplan ese enunciado?

Muchas gracias!!!!!
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sugata
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« Respuesta #3 : 15/11/2017, 02:37:44 pm »

El mcd es [texx]2\cdot{}7^2[/texx]
Los números serán de forma [texx]x\cdot{}2\cdot{}7^2[/texx]
Ahora debemos buscar esos x tal que entre los dos números tengamos [texx]2^3[/texx] y [texx]3^5[/texx] ya que ya tenemos [texx]2\cdot{}7^2[/texx]
Sólo hay que buscar los que sean primos entre sí, como ya te han dicho.
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« Respuesta #4 : 15/11/2017, 02:46:14 pm »

Sí efectivamente, se trata de hallar tres parejas de números que cada pareja a y b cumplan en todos los casos que su mínimo común múltiplo sea 2^4\cdot 3^5\cdot 7^2 y que su Máximo Común Divisor 2\cdot 7^2. Sabemos perfectamente como hallar los m.c.m y el M.C.D. de un número pero no viceversa. Tú respuesta es muy buena, pero uffff, no la acabo de entender no sé como aplicarla. Me temo que en 1º de ESO buscan la respuesta de otra forma y no con ese desarrollo que propones. ¿Alguna pista, o algunos números que cumplan ese enunciado?

Muchas gracias!!!!!


No sé explicarlo de otro modo. Bueno sí, pero tendría que dibujar conjuntos. Si los factores de [texx]a[/texx] son un conjunto y los de [texx]b[/texx] otro entonces su intersección son los factores de [texx]M[/texx] y su unión son los factores de [texx]m[/texx].

(Para otros con formación conjuntista que lean: estos conjuntos no serían conjuntos usuales sino multiconjuntos.)

Como he expuesto arriba sólo tienes que hallar tres pares de números [texx](n_1,n_2)[/texx] tales que [texx]m=n_1\cdot n_2[/texx] y que sean pares de números primos entre sí (sin factores comunes). Entonces tendríamos que los pares [texx](a,b)[/texx] serían definidos por [texx]a=M\cdot n_1[/texx] y [texx]b=M\cdot n_2[/texx].
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albertohu
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« Respuesta #5 : 15/11/2017, 03:24:09 pm »

De acuerdo. Muchas gracias a los dos. Aplico vuestras explicaciones y lo intento.
Gracias!!!!!!!!!!!
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« Respuesta #6 : 15/11/2017, 03:25:30 pm »

Hola, el ejercicio es algo dificil para 1º de eso, pero es muy ilustrativo.

Te lo explico de forma que tu hijo pueda entenderlo.

Para calcular el M.C.D. , solo tomamos los factores comunes elevados a la menor potencia.

por ello los factores [texx]2\cdot{}7^2[/texx] deben estar en a y b , como apunto sugata.

[texx]a=n_1\cdot{}2\cdot{}7^2[/texx]  y [texx]b=n_2\cdot{}2\cdot{}7^2[/texx]

Además el producto de a y b es igual al el producto del m.c.m. y del M.C.D.

es decir [texx]a\cdot{}b=2\cdot{}2^4\cdot{}3^5\cdot{}7^2\cdot{}7^2[/texx]

Como en el m.c.m se cogen los comunes elevados al mayor exponente y los no comunes, como el [texx]3^5[/texx] es no común pues no esta en el MCD, entonces debe estar integro en a o en b, nunca puede estar en ambos con menor exponente. además el factor [texx]2^4[/texx] también debe estar integro en a ó b. resumiendo ,posibilidades:

Primera posibilidad [texx]2^4[/texx] y [texx]3^5[/texx] estén juntos.

[texx]a=2\cdot{}7^2[/texx] y [texx]b=2^4\cdot{}3^5\cdot{}7^2[/texx]  , con [texx]n_1=1[/texx] y [texx]n_2=2^3\cdot{}3^5[/texx]

Segunda posibilidad [texx]2^4[/texx] y [texx]3^5[/texx] estén separados.

[texx]a=2\cdot{}3^5\cdot{}7^2[/texx] y [texx]b=2^4\cdot{}7^2[/texx]  , con [texx]n_1=3^5[/texx] y [texx]n_2=2^3[/texx]

Yo solo veo que se pueden formar 2 parejas , no se de donde saldrá la tercera pareja.

Saludos.




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« Respuesta #7 : 15/11/2017, 03:33:45 pm »

Hola; otra forma:

Tenemos esta relación para dos números cualesquiera “a” y “b”

[texx]m.c.m(a,b)\cdot m.c.d(a,b)=a\cdot b[/texx]     (a lo mejor no se la han enseñado, pero es muy sencilla).

Perdón, ha habido un horror, más que error; esos cosos no son

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Saludos.
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« Respuesta #8 : 15/11/2017, 03:50:03 pm »

Hola feriva.

Hola; otra forma:

Tenemos esta relación para dos números cualesquiera “a” y “b”

[texx]m.c.m(a,b)\cdot m.c.d(a,b)=a\cdot b[/texx]     (a lo mejor no se la han enseñado, pero es muy sencilla).

De ahí, entonces

[texx]2^{4}\cdot3^{5}\cdot7^{2}\cdot2\cdot7^{2}=5334336
 [/texx]

O sea, este número 5334336 es [texx]a\cdot b
 [/texx].

Sólo hay que dar algunos valores a la variable “a” (eligiendo entre los factores del mcd y el mcm) para obtener “b”. Podemos elegir los tres primos que aparecen:

podemos dar 2 y tienes

[texx]\dfrac{5334336}{2}=b
 [/texx]; se hace la división y se halla (y se puede ver que sus mcd y mcd son los dados).

Y luego puedes dar 3 y 7, y ya tienes las tres parejas.

Saludos.

Pero así obtenidos no cumplen las condiciones de M.C.D. y m.c.m.

Si [texx]\dfrac{5334336}{2}=b\Leftrightarrow{}a=2[/texx]   y   [texx]M.C.D.(a,b)=2[/texx]   y   [texx]m.c.m.(a,b)=2^{4}\cdot3^{5}\cdot7^{4}[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #9 : 15/11/2017, 03:59:12 pm »

Hola Masacroso, tienes una pequeña errata al final en la expresión del m.c.m. te comiste el factor M, en

Por tanto debe cumplirse que [texx]a\cdot b=M\cdot m[/texx], [texx]a=M\cdot n_1[/texx] y [texx]b=M\cdot n_2[/texx], es decir, que [texx]m=n_1\cdot n_2[/texx] tales que [texx]n_1[/texx] y [texx]n_2[/texx] no tengan factores comunes.

Realmente [texx]m=M\cdot{}n_1\cdot n_2[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #10 : 15/11/2017, 04:15:09 pm »

Hola Masacroso, tienes una pequeña errata al final en la expresión del m.c.m. te comiste el factor M, en

Por tanto debe cumplirse que [texx]a\cdot b=M\cdot m[/texx], [texx]a=M\cdot n_1[/texx] y [texx]b=M\cdot n_2[/texx], es decir, que [texx]m=n_1\cdot n_2[/texx] tales que [texx]n_1[/texx] y [texx]n_2[/texx] no tengan factores comunes.

Realmente [texx]m=M\cdot{}n_1\cdot n_2[/texx].

Saludos.

Ya lo he corregido, gracias. Respecto a lo que planteas observa que puede haber como máximo [texx]\color{red}{2}[/texx] pares no ordenados de [texx](n_1,n_2)[/texx] ya que [texx]n_k\in\{1,2^3,3^5,2^3\cdot 3^5\}[/texx] tal que [texx]n_1\cdot n_2=2^3\cdot 3^5[/texx], del cual se pueden generar dos pares no ordenados [texx](a,b)=(M\cdot n_1,M\cdot n_2)[/texx] distintos.

CORREGIDO. Sí, robinlambda tiene razón, había hecho mal las cuentas. A lo sumo hay dos pares distintos no ordenados.
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« Respuesta #11 : 15/11/2017, 04:25:17 pm »



Pero así obtenidos no cumplen las condiciones de M.C.D. y m.c.m.

Si [texx]\dfrac{5334336}{2}=b\Leftrightarrow{}a=2[/texx]   y   [texx]M.C.D.(a,b)=2[/texx]   y   [texx]m.c.m.(a,b)=2^{4}\cdot3^{5}\cdot7^{4}[/texx]

Saludos.

Perdón, qué despistado; voy a editar... gracias.

Un saludo.
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« Respuesta #12 : 15/11/2017, 04:59:54 pm »

Bueno, bueno, bueno. Estoy realmente atónito y maravillado con este increíble foro y vuestras respuestas. Y por vuestro esfuerzo. Madre mía que nivelón. Pero efectivamente, son respuestas que se alejan mucho del nivel que por el momento se da en Primero de la ESO. Con lo que habida cuenta de vuestras respuestas y consultado con otro compañero del Instituto, me temo que lo que está mal es la puntuación del propio enunciado, que es tal cuál os lo puse, pero no refleja lo que realmente quiere la profesora, me temo. Creo que el problema era mucho más simple, a pesar del redactado del enunciado. Parece ser, mañana lo confirmaré, que se pedían tres parejas de números, que compartan el m.c.m citado y por otro lado otras tres parejas de números que tengan también el M.C.D citado. Pero no que se cumplan los dos supuestos a la vez. Entiendo que será por una parte los números que compartan el m.c.m y por otro, otros números que compartan ese M.C.D.. Creo que será así. Mañana saldré de dudas. Ya lo siento haberos liado. y aun así, lo habéis resuelto, según la primera idea. Alucinado me he quedado. Gracias por los esfuerzos, en todo caso y por la colaboración. GRACIAS!!
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« Respuesta #13 : 15/11/2017, 05:09:25 pm »

Bueno, bueno, bueno. Estoy realmente atónito y maravillado con este increíble foro y vuestras respuestas. Y por vuestro esfuerzo. Madre mía que nivelón. Pero efectivamente, son respuestas que se alejan mucho del nivel que por el momento se da en Primero de la ESO. Con lo que habida cuenta de vuestras respuestas y consultado con otro compañero del Instituto, me temo que lo que está mal es la puntuación del propio enunciado, que es tal cuál os lo puse, pero no refleja lo que realmente quiere la profesora, me temo. Creo que el problema era mucho más simple, a pesar del redactado del enunciado. Parece ser, mañana lo confirmaré, que se pedían tres parejas de números, que compartan el m.c.m citado y por otro lado otras tres parejas de números que tengan también el M.C.D citado. Pero no que se cumplan los dos supuestos a la vez. Entiendo que será por una parte los números que compartan el m.c.m y por otro, otros números que compartan ese M.C.D.. Creo que será así. Mañana saldré de dudas. Ya lo siento haberos liado. y aun así, lo habéis resuelto, según la primera idea. Alucinado me he quedado. Gracias por los esfuerzos, en todo caso y por la colaboración. GRACIAS!!

Para un problema de nivel de 1º de ESO , creo que debe ser como lo planteas, las condiciones por separado.

Aunque es como indique el problema que planteaste con las 2 condiciones a la vez es algo difícil , se podría plantear como reto a los más aventajados , ya que si se tienen muy claras las propiedades y la fórmulas implicadas se puede sacar por tanteo.

Yo ahora estoy también dando divisibilidad en 1º de ESO, lo voy a plantear como reto a ver si son capaces al menos alguno de ellos.( quizás con ayuditas).

Saludos.
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« Respuesta #14 : 15/11/2017, 05:31:04 pm »

Gracias de nuevo. Imagino que será así. En todo caso, ya puestos a resolver la duda, mañana lo confirmaré. Muchas gracias a todos.
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