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Autor Tema: Topología en naturales  (Leído 132 veces)
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« : 13/11/2017, 10:02:57 am »

Sea N el conjunto de los números naturales, introducimos en N una topología T definida por
[texx]T=\{{\emptyset}, E_n , n\in{N }\}[/texx] donde [texx]E_n= \{n,n+1,n+2,.......\}[/texx]

1) Cuales son los cerrados de esa topología
2) Calcular la clausura de [texx]A=\{7,24,37,85\}[/texx] y [texx]B=\{3,6,9,12...\}[/texx]
3)Calcular el conjunto derivado de A siendo [texx]A=\{4,13,28,37\}[/texx]
4)¿Cuáles son los  subconjuntos de de N cuyo derivado es el propio N
5)¿Cuáles son los subconjuntos densos de N?
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Fernando Revilla
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« Respuesta #1 : 13/11/2017, 12:59:21 pm »

¿Qué has intentado? Alguna pequeña ayuda:

Sea N el conjunto de los números naturales, introducimos en N una topología T definida por
[texx]T=\{{\emptyset}, E_n , n\in{N }\}[/texx] donde [texx]E_n= \{n,n+1,n+2,.......\}[/texx]
1) Cuales son los cerrados de esa topología

Por supuesto [texx]\emptyset,\mathbb{N}[/texx] y los complementarios de [texx]E_n[/texx]: [texx]\mathbb{N}-E_n=\{1,2,\ldots,n-1\}[/texx]

2) Calcular la clausura de [texx]A=\{7,24,37,85\}[/texx] y [texx]B=\{3,6,9,12...\}[/texx]

Observa que los entornos abiertos de [texx]m\in \mathbb{N}[/texx] son los conjuntos [texx]E_1,E_2,\ldots,E_{m}[/texx]. Por ejemplo, [texx]86\notin \overline{A}[/texx] pues [texx]E_{86}\cap A=\emptyset[/texx]. Ten en cuenta además que [texx]\overline{A}[/texx] es el menor cerrado que contiene a [texx]A[/texx].

Veamos que más puedes ir obteniendo. 
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« Respuesta #2 : 13/11/2017, 05:51:20 pm »

2) Calcular la clausura de [texx]A=\{7,24,37,85\}[/texx] y [texx]B=\{3,6,9,12...\}[/texx]
[/quote]

Observa que los entornos abiertos de [texx]m\in \mathbb{N}[/texx] son los conjuntos [texx]E_1,E_2,\ldots,E_{m}[/texx]. Por ejemplo, [texx]86\notin \overline{A}[/texx] pues [texx]E_{86}\cap A=\emptyset[/texx]. Ten en cuenta además que [texx]\overline{A}[/texx] es el menor cerrado que contiene a [texx]A[/texx].

Veamos que más puedes ir obteniendo. 
[/quote]

el 2 creo que lo tengo claro de [texx] \bar{A}=\{1,2,3,......\}[/texx] y de B sería N


3) El derivado, para mi sería [texx]A´=\{1,2,....,37\}[/texx] pero tengo dudas.
gracias por todo.
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« Respuesta #3 : 14/11/2017, 05:11:14 am »

el 2 creo que lo tengo claro de [texx] \bar{A}=\{1,2,3,......\}[/texx] y de B sería N

Observa que los cerrados son [texx]F_n=\mathbb{N}-E_n=\left\{{1,2,\ldots, n-1}\right\}[/texx] y por tanto:

          [texx]\emptyset=F_1\subset F_2 \subset F_3 \subset \ldots \subset \mathbb{N}[/texx]

La adherencia de [texx]A=\{7,24,37,85\}[/texx] es el menor cerrado que contiene a [texx]A[/texx], es decir [texx]\overline{A}=F_{86}[/texx]. Análogamente si [texx]B=\{3,6,9,12...\}[/texx], entonces [texx]\overline{B}=\mathbb{N}[/texx].

3) El derivado, para mi sería [texx]A´=\{1,2,....,37\}[/texx] pero tengo dudas.

Revisa, si [texx]A=\{4,13,28,37\}[/texx] sería [texx]A'=\left\{{1,2,3,\ldots,36}\right\}[/texx].
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« Respuesta #4 : 14/11/2017, 07:55:09 am »

Cita
Revisa, si [texx]A=\{4,13,28,37\}[/texx] sería [texx]A'=\left\{{1,2,3,\ldots,36}\right\}[/texx].

En este punto no entendía yo la solución, el derivado es el menor cerrado que interseca a A en algún punto distinto a si mismo?, si no incluimos el 37 en el derivado, porque tenemos que llegar al 36? por qué no sería el [texx]A'=\left\{{1,2,3,\ldots,28}\right\}[/texx] ?
muchas gracias!
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« Respuesta #5 : 14/11/2017, 08:09:19 am »

creo que lo acabo de entender, punto de acumulación es un punto donde un abierto interseca con el conjunto en un punto distinto a si mismo, para intersecar con 37  el 36 lo hace  porque los abiertos en esta topología son [texx]\{n,n+1,n+2,....\}[/texx]
mientras que el 37 solo interseca en 37 lo que no es de acumulación! .....entonces mezlcé definiciones.
Muchas gracias Fernando Revilla!
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