Foros de matemática
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Autor Tema: Área encerrada bajo una curva  (Leído 96 veces)
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« : 13/11/2017, 08:29:16 am »

Sea [texx]\phi[/texx] una curva regular a trozos y cerrada, me piden demostrar que el área encerrada por dicha curva viene dada por [texx]\displaystyle\frac{1}{2i}\displaystyle\int_{\phi} \bar{z}dz[/texx].

Sea [texx]\phi : [a,b]\rightarrow{\mathbb{C}}, \phi(t)= P(t)+iQ(t)[/texx] Entonces
[texx]\displaystyle\frac{1}{2i}\displaystyle\int_{\phi} \bar{z}dz = \displaystyle\frac{1}{2i}\displaystyle\int_{a}^{b}\overline{\phi(t)}\phi'(t) dt = \ldots =\displaystyle\frac{1}{2i}\displaystyle\int_{a}^{b}P(t)P'(t)+Q(t)Q'(t) +i(P(t)Q'(t)-Q(t)P'(t))dt[/texx]

Como la curva es cerrada [texx]\displaystyle\int_{a}^{b}P(t)P'(t)+Q(t)Q'(t) dt=0[/texx] ¿esto es correcto? 
Si es así la integral nos queda:

[texx]\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{a}^{b}-Q(t)P'(t)+P(t)Q'(t) dt[/texx] y esto por el teorema de Green es igual a:

[texx]\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\phi}-ydx+xdy= área(\Omega)[/texx]

¿Estaría bien?

Y ahora, como aplico este resultado para dar el área encerrada por una elipse??
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Fernando Revilla
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« Respuesta #1 : 13/11/2017, 09:19:31 am »

¿Estaría bien?

Sí, pero no hace falta todo eso. Si [texx]A[/texx] es el área correspondiente, basta:

[texx]\displaystyle \frac{1}{2i}\int_\phi \bar{z}dz=\frac{1}{2i}\int_\phi (x-iy)(dx+idy)=\frac{1}{2i}\int_\phi xdx +y dy+\frac{1}{2}\int_\phi -ydx +x dy\underbrace{=}_{\text{Green}}0+\iint_{D}dxdy=A[/texx]

Y ahora, como aplico este resultado para dar el área encerrada por una elipse??

Bueno, haz [texx]u=x/a,\;v=y/b[/texx] y pasa a polares.
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« Respuesta #2 : 13/11/2017, 10:27:15 am »

Pues si, me gusta mucho más tu método, más sencillo y elegante.

Lo de la elipse...no te entiendo bien, podrías especificar más?
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Fernando Revilla
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« Respuesta #3 : 13/11/2017, 01:10:45 pm »

Lo de la elipse...no te entiendo bien, podrías especificar más?

Si [texx]E\equiv x^2/a^2+y^2/b^2\le 1[/texx], entonces [texx]A=\iint_Edxdy[/texx]. Si [texx]x=au,y=bv[/texx], el jacobiano de la transformación es [texx]J=ab[/texx]. Por tanto,

          [texx]A=ab\displaystyle\iint_{u^2+v^2\le 1}dudv\underbrace{=}_{\text{Área circ. unidad = }\pi}=\pi ab[/texx].
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« Respuesta #4 : 14/11/2017, 07:37:35 am »

aah, vale muchas gracias!!
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