Foros de matemática
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Autor Tema: Intergral Números Complejos  (Leído 88 veces)
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Mmanuel
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« : 13/11/2017, 03:41:02 am »

Hola Chicos!

Me encuentro resolviendo algunos ejercicios para la universidad y me enfrento a este problema:

[texx]\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{\cos (2x)}{2-\cos(x)} dz[/texx]

Me confunde el hecho de que la integral está en términos de x pero deba ser resuelta en dz. ¿Es correcto  cambiar la x por z y dejar la integral en términos de z? ó ¿hay alguna propiedad que estoy omitiendo?

Les agradezco su colaboración.
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #1 : 13/11/2017, 05:07:41 am »

Hola Chicos!

Me encuentro resolviendo algunos ejercicios para la universidad y me enfrento a este problema:

[texx]\displaystyle\int_{0}^{2pi} \displaystyle\frac{cos (2x)}{2-cos(x)} dz[/texx]

Me confunde el hecho de que la integral esta en terminos de x pero deba ser resuelta en dz. ¿Es correcto  cambiar la x por z y dejar la integral en terminos de z? ó ¿hay alguna propiedad que estoy omitiendo?

Les agradezco su colaboración.

Pienso que ese enunciado es al menos incompleto. Queda la duda respecto a si [texx]x[/texx] es realmente [texx]z[/texx], una variable ¿real o compleja?, o [texx]z = x + i\cdot{}y[/texx]. Por otra parte da la impresión de que lo que varía en [texx][0, 2\pi][/texx] es el argumento del número complejo z que se movería en cierta circunferencia cuyo radio no está explicitado y que convendría conocer.

Es decir, a mi se me ocurren al menos tres o cuatro formas de interpretarlo ...

Saludos,
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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #2 : 13/11/2017, 05:28:36 am »

Estoy de acuerdo con los comentarios de Ignacio. Intuyo que lo que piden es calcular la integral real:

          [texx]I=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{\cos 2t}{2-\cos t} dt[/texx].

Si fuera así, el cambio estándar [texx]z=e^{it}[/texx] la transforma en una del tipo [texx]\int_{\left |{z}\right |=1}f(z)\;dz[/texx] con [texx]f(z)[/texx] racional y ésta también tiene un método estándar de resolución vía residuos.
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Mmanuel
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« Respuesta #3 : 13/11/2017, 06:22:25 am »

Les agradezco su respuesta @Ignacio y @ Fernando y es verdad por equivocación omití una parte del ejercicio. El problema correctamente planteado es el siguiente:

Dada la curva (z - i)=1 resuelva la integral:

[texx]\displaystyle\int_{0}^{2pi} \displaystyle\frac{cos (2x)}{2-cos(x)} dz[/texx]

En este caso "x" es el ángulo theta.

Conozco que la gráfica es un círculo de radio 1 y centro i pero me desconcierta que la integral se encuentre en terminos de theta y pida ser resuelta en dz. Aprecio su colaboración y orientación al respecto.

 
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Luis Fuentes
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« Respuesta #4 : 13/11/2017, 08:25:20 am »

Hola

Les agradezco su respuesta @Ignacio y @ Fernando y es verdad por equivocación omití una parte del ejercicio. El problema correctamente planteado es el siguiente:

Sigue siendo algo confuso como lo has escrito.

Cita
Dada la curva (z - i)=1 resuelva la integral:

Ahí supongo que te refieres a la curva [texx]|z-i|=1[/texx].

Cita
[texx]\displaystyle\int_{0}^{2pi} \displaystyle\frac{cos (2x)}{2-cos(x)} dz[/texx]

En este caso "x" es el ángulo theta.

Sigue sin tener sentido que ponga [texx]dz[/texx] y los límites entre [texx]0[/texx] y [texx]2\pi[/texx] (que sugieren límites de la variable [texx]z[/texx])

Se me ocurren dos posibles interpretaciones. O bien:

[texx]\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{cos (2\theta)}{2-cos(\theta)} d\theta[/texx]

pero ahí el dato de la curva sería indiferente.

O bien:

[texx]\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{cos (2\theta)}{2-cos(\theta)} dz[/texx]

con [texx]z=1+e^{i\theta}[/texx].

En ese último caso ten en cuenta que:

[texx]cos(\theta)=\dfrac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta})=\dfrac{1}{2}(z-1+\dfrac{1}{z-1})[/texx]

Análogamente:

[texx]cos(2\theta)=\dfrac{1}{2}((z-1)^2+\dfrac{1}{(z-1)^2})[/texx]

Eso te permite transformarla en una integral compleja y resolverla por residuos.

Ahora bien ante todo sería deseable tener un enunciado bien escrito y sin fisuras.

Saludos.
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Mmanuel
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« Respuesta #5 : 13/11/2017, 11:40:51 am »

Muchas gracias @Luis y a todos por sus respuestas probaré con la definición de coseno que me han recordado
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