Foros de matemática
22/11/2017, 04:14:58 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Renovado el procedimiento de inserción de archivos GEOGEBRA en los mensajes.
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Conjunto denso  (Leído 46 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Julio_fmat
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 1.590



Ver Perfil WWW
« : 13/11/2017, 02:03:24 am »

Sea [texx]D=\left\{\dfrac{p}{2^{n}}: p\in \mathbb{Z}, n=0,1,2,...,\infty\right\}[/texx]. Muestre que [texx]D[/texx] es denso en [texx]\mathbb{R}[/texx].

Hola, creo que no. Lo único que se me ocurre es probar que [texx]0[/texx] es un punto de clausura, pues [texx]\displaystyle\lim_{n\to \infty}\dfrac{p}{2^n}=0.[/texx] Y además, para cada [texx]r>0[/texx], se tiene que [texx]B(0,r)\cap D\ne \varnothing.[/texx]
En línea

"Haz de las Matemáticas tu pasión".
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 40.308


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 13/11/2017, 06:19:17 am »

Hola

Sea [texx]D=\left\{\dfrac{p}{2^{n}}: p\in \mathbb{Z}, n=0,1,2,...,\infty\right\}[/texx]. Muestre que [texx]D[/texx] es denso en [texx]\mathbb{R}[/texx].

Hola, creo que no.

Pues el primer paso es que creas que si. Es intuitivo. Fíjate que para cada [texx]n[/texx] dividimos la recta real (como si fuese una regla) en subdivisiones de tamaño [texx]\dfrac{1}{2^n}[/texx]. Son subdivisiones cada vez más "juntitas" a medida que aumenta [texx]n[/texx]. De ahí la densidad.

Cita
Lo único que se me ocurre es probar que [texx]0[/texx] es un punto de clausura, pues [texx]\displaystyle\lim_{n\to \infty}\dfrac{p}{2^n}=0.[/texx] Y además, para cada [texx]r>0[/texx], se tiene que [texx]B(0,r)\cap D\ne \varnothing.[/texx]

Lo que tienes que hacer es probar que cualquier abierto básico [texx](a,b)[/texx] corta al conjunto.

Para ello ten en cuenta que dado que [texx]\dfrac{1}{2^n}\to 0[/texx], existe [texx]n[/texx] tal que [texx]\dfrac{1}{2^n}<(b-a)[/texx] y por tanto [texx](2^na,2^nb)[/texx] es un intervalo de longitud mayor que [texx]1[/texx] y así contiene a un entero [texx]p[/texx].

Pero:

[texx]2^na<p<2^nb\quad \Rightarrow{}\quad a<\dfrac{p}{2^n}<b[/texx]

Saludos.
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!