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Autor Tema: Prueba ideal máximo (EDITADO)  (Leído 92 veces)
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cristianoceli
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« : 13/11/2017, 12:23:16 am »

Hola tengo dudas con esta demostración

Pruebe que [texx]J[/texx] es un ideal maximo en [texx]\mathbb{Z}[/texx] [[texx]x[/texx]] donde [texx]J[/texx] consiste en todos los polinomios
con un término constante PAR (me han sugerido probar que [texx]\mathbb{Z}[/texx]  [[texx]x[/texx]] /[texx]J      \cong \mathbb{F_2}[/texx]. ) pero no sé como hacerlo

De antemano gracias

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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 13/11/2017, 06:03:46 am »

Hola

Pruebe que [texx]J[/texx] es un ideal maximo en [texx]\mathbb{Z}[/texx] [[texx]x[/texx]] donde [texx]J[/texx] consiste en todos los polinomios
con un término constante (me han sugerido probar que [texx]\mathbb{Z}[/texx]  [[texx]x[/texx]] /[texx]J      \cong \mathbb{F_2}[/texx]. ) pero no se como hacerlo

No queda claro quien es el ideal [texx]J[/texx]. ¿Qué quieres decir todos los polinomios con un término constante? ¿Qué termino? ¿Qué constante?. Revisa el enunciado.

Sería cierto que [texx]\mathbb{Z}[ x]/J\cong \mathbb{F}_2[/texx] si, por ejemplo, [texx]J[/texx] fuese el ideal formado por los polinomios con el término independiente par.

Saludos.
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cristianoceli
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« Respuesta #2 : 13/11/2017, 10:07:48 pm »

Hola

Pruebe que [texx]J[/texx] es un ideal maximo en [texx]\mathbb{Z}[/texx] [[texx]x[/texx]] donde [texx]J[/texx] consiste en todos los polinomios
con un término constante (me han sugerido probar que [texx]\mathbb{Z}[/texx]  [[texx]x[/texx]] /[texx]J      \cong \mathbb{F_2}[/texx]. ) pero no se como hacerlo

No queda claro quien es el ideal [texx]J[/texx]. ¿Qué quieres decir todos los polinomios con un término constante? ¿Qué termino? ¿Qué constante?. Revisa el enunciado.

Sería cierto que [texx]\mathbb{Z}[ x]/J\cong \mathbb{F}_2[/texx] si, por ejemplo, [texx]J[/texx] fuese el ideal formado por los polinomios con el término independiente par.

Saludos.

Lo revisaré, yo entiendo que es equivalente a demostrar que [texx]\mathbb{Z} /{2\mathbb{Z}}[/texx] es un ideal primo

Saludos
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 14/11/2017, 05:30:59 am »

Hola

Lo revisaré, yo entiendo que es equivalente a demostrar que [texx]\mathbb{Z} /{2\mathbb{Z}}[/texx] es un ideal primo

[texx]\mathbb{Z} /{2\mathbb{Z}}[/texx] no es un ideal. El idea sería en todo caso [texx]2\mathbb{Z}[/texx] (un ideal del anillo [texx]\mathbb{Z}[/texx]).

Lo que supongo que sugiere usar el ejercicio es que en un anillo conmutativo [texx]A[/texx] un ideal [texx]J[/texx] es maximal si y sólo si el cociente [texx]A/J[/texx] es un cuerpo.

Pero insisto: necesitamos saber de que ideal [texx]J [/texx]estamos hablando para poder hacer cualquier cosa.

Saludos.
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cristianoceli
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« Respuesta #4 : 16/11/2017, 07:40:30 am »

Hola

Lo revisaré, yo entiendo que es equivalente a demostrar que [texx]\mathbb{Z} /{2\mathbb{Z}}[/texx] es un ideal primo

[texx]\mathbb{Z} /{2\mathbb{Z}}[/texx] no es un ideal. El idea sería en todo caso [texx]2\mathbb{Z}[/texx] (un ideal del anillo [texx]\mathbb{Z}[/texx]).

Lo que supongo que sugiere usar el ejercicio es que en un anillo conmutativo [texx]A[/texx] un ideal [texx]J[/texx] es maximal si y sólo si el cociente [texx]A/J[/texx] es un cuerpo.

Pero insisto: necesitamos saber de que ideal [texx]J [/texx]estamos hablando para poder hacer cualquier cosa.

Saludos.

Tienes razon revise el enunciado, tuve un error en la traducción. J es el ideal formado por los polinomios con término constante par.

Saludos
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Luis Fuentes
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« Respuesta #5 : 16/11/2017, 07:43:57 am »

Hola

Tienes razon revise el enunciado, tuve un error en la traducción. J es el ideal formado por los polinomios con término constante par.

Ahora es claro.

Si defines:

[texx]f:\mathbb{Z}[ x]\longrightarrow{}\mathbb{Z}_2[/texx]

[texx]f(p(x))=[p(0)][/texx]

Comprueba que es un morfismo de anillos sobreyectivo y su núcleo es [texx]J[/texx].

Por tanto por los Teoremas de Isomorfía:

[texx]\mathbb{Z}[ x]/J\approx \mathbb{Z}_2[/texx]

y como [texx]\mathbb{Z}_2[/texx] es un cuerpo, [texx]J[/texx] es maximal.

Saludos.
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