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Autor Tema: Función biyección  (Leído 87 veces)
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FMCh
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« : 13/11/2017, 12:05:03 am »

Buen día.
Quisiera saber si me podrían dar una indicación de cómo demostrar estas dos afirmaciones:

1. Sea A,B y C conjuntos. Demostrar que hay una función biyección [texx]g:(A \times B) \times C \longrightarrow{A \times (B \times C)}[/texx].


2. Sea A un conjunto. Sea [texx] \phi : P(A)\longrightarrow{P(A)}[/texx] definida por [texx]\phi(X)=A-X[/texx] para todo [texx]X\in{P(A)}[/texx] Pruebe que [texx]\phi[/texx] es biyectiva.

Para este segundo, [texx]P(A)[/texx] es el conjunto potencia o el conjunto partes.

Sé que debo probar que es inyectiva, sobreyectiva, y quedaría demostrado que es biyectiva, sin embargo, no sé como plantear.
Les agradezco sus colaboraciones,

Saludos,
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delmar
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« Respuesta #1 : 13/11/2017, 12:50:43 am »

Hola

Te ayudo con la 1)

Demostración de que g es inyectiva.

Por reducción al absurdo : supongamos que existen dos elementos distintos [texx]x=((a_1,b_1),c_1), \ \  y=((a_2,b_2),c_2)[/texx]  del dominio de g tal que [texx]g(x)=g(y)\Rightarrow{(a_1,(b_1,c_1))=(a_2,(b_2,c_2))}\Rightarrow{a_1=a_2, \ b_1=b_2, \ c_1=c_2}\Rightarrow{x=y}[/texx] absurdo [texx]x\neq{y}[/texx]

Demostración de que g es sobreyectiva

Considerando un elemento génerico [texx]y=(a,(b,c))[/texx] del codominio de g y denominando [texx]x=((a,b),c)[/texx], el cuál es un elemento del dominio de g, se tiene que [texx]g(x)=y[/texx], en consecuencia todo elemento del codominio de g es imagen de un elemento del dominio de g, por definición g es sobreyectiva

Por lo tanto la función g es biyectiva


Saludos
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #2 : 13/11/2017, 06:08:55 am »

Hola

 Para el segundo.

 Inyectividad: tienes que probar que [texx]\phi(X)=\phi(Y)\quad \Rightarrow{}\quad X=Y[/texx].

 Pero [texx]\phi(X)=\phi(Y)\quad \Rightarrow\quad A-X=A-Y\quad \Rightarrow\quad A-(A-X)=A-(A-Y)[/texx]

 Pero el complementario del complementario es...

 Sobreyectividad. Dado [texx]Y\subset  A[/texx] tienes que encontrar [texx]X\subset A[/texx] tal que [texx]A-X=Y[/texx]. ¿Alguna idea?.

Saludos.

P.D. Otra opción sería usar que una función es biyectiva si y sólo si tiene inversa y demostrar que [texx]\phi[/texx] es su propia inversa...
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #3 : 13/11/2017, 06:15:38 am »

Buen día.
Quisiera saber si me podrían dar una indicación de cómo demostrar estas dos afirmaciones:

1. Sea A,B y C conjuntos. Demostrar que hay una función biyección [texx]g:(A \times B) \times C \longrightarrow{A \times (B \times C)}[/texx].

Si [texx]a\in{}A, b\in{}B y c\in{}C[/texx], considera [texx]g(((a, b), c)) = (a, (b, c))[/texx]

2. Sea A un conjunto. Sea [texx] \phi : P(A)\longrightarrow{P(A)}[/texx] definida por [texx]\phi(X)=A-X[/texx] para todo [texx]X\in{P(A)}[/texx] Pruebe que [texx]\phi[/texx] es biyectiva.

Para este segundo, [texx]P(A)[/texx] es el conjunto potencia o el conjunto partes.

Sé que debo probar que es inyectiva, sobreyectiva, y quedaría demostrado que es biyectiva, sin embargo, no sé como plantear.

Para probar que es inyectiva debes ver que [texx]X, Y \subset{}A \wedge \phi(X) = \phi(Y)\;\Longrightarrow{}\; X = Y[/texx].

Pero

[texx] \phi(X) = \phi(Y)\;\Leftrightarrow{}\; A - X = A - Y\;\Longleftrightarrow{}\;X=Y[/texx]

pues si [texx]a\in{}A \wedge X, Y \subset{}A[/texx], se tiene que [texx]a\in{}X \;\Rightarrow{}\;a\not\in{}A-X\;\Rightarrow{}\;a\not\in{}A-Y\;\Rightarrow{}\;a\in{}Y[/texx]

Para probar que es sobreyectiva basta probar que [texx]\phi(X)[/texx] es una involución, de manera que [texx]\phi(\phi(X)) = X[/texx].

Saludos,

Como de costumbre, no vi las respuestas anteriores ...
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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
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« Respuesta #4 : 13/11/2017, 11:58:41 pm »

Hola, les agradezco sus comentarios y explicaciones.

Saludos,

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