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Autor Tema: Encontrar desplazamiento como serie de Fourier  (Leído 87 veces)
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Francois
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« : 12/11/2017, 03:37:58 pm »

Muy buenas con todos.
Estoy viendo este problema de Series de Fourier,
espero puedan ayudarme.


Problema
Considere una cuerda bien tensa (como la cuerda de una guitarra) , de longitud [texx]L[/texx] . Suponga que la cuerda
es punteada en la mitad de manera que su desplazamiento inicial es

[texx]u(x,0)=\begin{cases} \dfrac{2mx}{L}& \text{si}& 0 \leq{x}\leq{\displaystyle\frac{L}{2}}& \\
\displaystyle\frac{2m(L-x)}{L}& \text{si}& \displaystyle\frac{L}{2}\leq x \leq L\end{cases} [/texx]

Y su velocidad inicial [texx]u_{t}(x,0)=0[/texx] . Encuentre su desplazamiento de la cuerda [texx]u(x,t)[/texx] como una serie de Fourier.

Duda

Entiendo que debo encontrar ese [texx]u(x,t)[/texx] para luego derivar respecto a [texx]t[/texx] y utilizar esa condición cuando [texx]t=0[/texx].
Pero no recuerdo como puedo modificar ese dato que tengo en [texx]u(x,0)[/texx] para tener [texx]u(x,t)[/texx].
También estaba viendo series de Fourier pero en una variable. En este caso como va en las variables [texx]x [/texx] y [texx]t[/texx]

Gracias por la ayuda.
Saludos.


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Masacroso
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« Respuesta #1 : 12/11/2017, 03:54:58 pm »

¿Cómo modelas la onda de la cuerda aquí? Porque eso sólo nos dice el estado inicial.
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Francois
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« Respuesta #2 : 12/11/2017, 04:24:28 pm »

Hola Masacroso.

Te refieres que [texx]u(x,t)[/texx] debo considerarla como [texx]u(x,t)=Asin(wt+\phi)[/texx] (algo así recuerdo que era).

Te refieres a eso?

Muchas gracias.


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Masacroso
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« Respuesta #3 : 12/11/2017, 04:29:16 pm »

Hola Masacroso.

Te refieres que [texx]u(x,t)[/texx] debo considerarla como [texx]u(x,t)=Asin(wt+\phi)[/texx] (algo así recuerdo que era).

Te refieres a eso?

Muchas gracias.




Claro, el modelo que vas a usar para el movimiento ondulatorio. Pero no veo como un modelo como ese tenga algo que ver con series de Fourier. Falta mucha información.

Espero que alguien que sepa más de física y los modelos que se usan para estos ejercicios pueda aclararlo.
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Abdulai
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« Respuesta #4 : 13/11/2017, 10:01:56 am »

....
Problema
Considere una cuerda bien tensa (como la cuerda de una guitarra) , de longitud [texx]L[/texx] . Suponga que la cuerda
es punteada en la mitad de manera que su desplazamiento inicial es

[texx]u(x,0)=\begin{cases} \dfrac{2mx}{L}& \text{si}& 0 \leq{x}\leq{\displaystyle\frac{L}{2}}& \\
\displaystyle\frac{2m(L-x)}{L}& \text{si}& \displaystyle\frac{L}{2}\leq x \leq L\end{cases} [/texx]

Y su velocidad inicial [texx]u_{t}(x,0)=0[/texx] . Encuentre su desplazamiento de la cuerda [texx]u(x,t)[/texx] como una serie de Fourier.

Duda

Entiendo que debo encontrar ese [texx]u(x,t)[/texx] para luego derivar respecto a [texx]t[/texx] y utilizar esa condición cuando [texx]t=0[/texx].
Pero no recuerdo como puedo modificar ese dato que tengo en [texx]u(x,0)[/texx] para tener [texx]u(x,t)[/texx].
También estaba viendo series de Fourier pero en una variable. En este caso como va en las variables [texx]x [/texx] y [texx]t[/texx]
....

Supongo que para hallar la serie de Fourier de  [texx]U(x,0)=F(x)[/texx]  no tenés problemas.

Debés haber visto en teoría que la cuerda verifica la ED    [texx]\dfrac{{\partial ^2 U(x,t)}}{{\partial x^2}} = \dfrac{1}{v^2}\dfrac{{\partial ^2 U(x,t)}}{{\partial t^2}}[/texx]
y que   [texx]F(x+vt)[/texx]  y   [texx]F(x-vt)[/texx]   verifican esa ecuación.


Por lo tanto el problema se reduce a:

- Hallar la SF correspondiente a la extensión impar de [texx]U(x,0) = F(x)[/texx].   
  Lo de la extensión impar es para que luego se cumpla  [texx]U(0,t)=U(L,t)\;\;\;\forall t[/texx] 

- Escribir la solución como  [texx]U(x,t) = \frac{1}{2}\left(F(x+vt)+F(x-vt)\right)[/texx]
  Como extra se puede comprobar que verifica la ED y cumple las condiciones de contorno.
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Francois
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« Respuesta #5 : 13/11/2017, 03:57:16 pm »

Muchas gracias Abdulai.

Seguí todo lo que indicas,
ya tengo la respuesta.
 :sonrisa_amplia:

Saludos cordiales!
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