Desagüe de un tanque caso real

[AndresLargo]

Buen día a todos.

Estoy aplicando el tema de ecuaciones diferenciales para el desagüe de un tanque, este tanque está acostado de manera horizontal y tiene forma cilíndrica, el problema es que tiene casquillos esféricos a sus lados.


 
Tengo mi procedimiento pero al crear la función para los casquillos mi profesora me comentó que esta ecuación solo abarca un pedazo.

¿Cómo podría formularla?

Adjunto la imagen.

Muchas gracias.

[AndresLargo]

¿Alguien podría ayudarme?



No he podido encontrar la función de área del casquillo

[Luis Fuentes]

Hola

 A qué le llamas "el casquillo". ¿Exactamente qué area quieres calcular?. ¿Es área o volumen?.

Saludos.

[AndresLargo]

Es el área de los laterales del cilindro, ya obtuve la función área del cilindro sin esa parte que parece un casquillo esférico, pero ahora necesito la del casquillo.


Con ello ya podría aplicar el teorema de torricelli.


Aunque te agradecería  si me mostraras una manera de obtener la función area de toda la figura en cualquier instante.

[Abdulai]

Es el área de los laterales del cilindro, ya obtuve la función área del cilindro sin esa parte que parece un casquillo esférico, pero ahora necesito la del casquillo.


Con ello ya podría aplicar el teorema de torricelli.


Aunque te agradecería  si me mostraras una manera de obtener la función area de toda la figura en cualquier instante.

Si los casquillos fueran realmente esféricos,  la suma de sus volúmenes correspondería a la de una esfera llena hasta una altura [texx]h[/texx]  desde el fondo.

En tal caso el volumen es  [texx]V_{esf} = \pi R h^2\left(1-\dfrac{h}{3R}\right)[/texx]



Pero no sé si tu tanque será así, es mas común que sean toriesféricos

[Ignacio Larrosa]

Es el área de los laterales del cilindro, ya obtuve la función área del cilindro sin esa parte que parece un casquillo esférico, pero ahora necesito la del casquillo.


Con ello ya podría aplicar el teorema de torricelli.


Aunque te agradecería  si me mostraras una manera de obtener la función area de toda la figura en cualquier instante.

Supongo que te refieres a la superficie libre del agua. Supongo que el cilindro tiene un largo [texx]L[/texx] y un radio [texx]r[/texx], y esta rematado por dos semiesferas del mismo radio. A la altura del agua la llamaré [texx]h, 0 \leq{} h \leq{} 2r[/texx].

La superficie libre del agua esta formado por un rectángulo en la parte cilíndrica y dos semicircunferencias, una en cada semiesfera. El largo del rectángulo es el del cilindro, L, y el ancho coincide con el diámetro de las circunferencias. llamemos [texx]s[/texx] a su radio.

En todo momento, [texx]r, s\textrm{ y }\left |{r-h}\right |[/texx] forman un triángulo rectángulo, tanto si es [texx]h < r\textrm{ como si es }h > r[/texx], por lo que

[texx]s = \sqrt[ ]{r^2 - \left |{r-h)}\right |^2}=\sqrt[ ]{r^2 - r^2 + 2rh-h^2}= \sqrt[ ]{2rh-h^2}[/texx]

Entonces el área de la parte cilindrica es [texx]2s\cdot{}L = 2\sqrt[ ]{2rh-h^2}\cdot{}L[/texx], y el de las dos semicircunferencias, que juntas hacen una, es [texx]\pi(2rh - h^2)[/texx]. Por tanto, la superficie libre en función de la altura es:

[texx]S(h) = 2\sqrt[ ]{2rh-h^2}\cdot{}L + \pi(2rh - h^2)[/texx]

¿Era eso lo que buscabas? En cuanto pueda adjunto un gráfico. Adjuntado




Puedes desplazar el punto D para variar la altura del líquido.

Saludos,

[robinlambada]

Hola.

Es el área de los laterales del cilindro, ya obtuve la función área del cilindro sin esa parte que parece un casquillo esférico, pero ahora necesito la del casquillo.


Con ello ya podría aplicar el teorema de torricelli.


Aunque te agradecería  si me mostraras una manera de obtener la función area de toda la figura en cualquier instante.

La verdad es que me cuesta mucho entenderte, creo que quieres calcular la superficie del líquido del deposito a una altura determinada, en concreto la de los semicírculos extremos, ¿correcto?

si es así , lo has calculado mal. Tienes que el radio de la semicírculo horizontal que ocupa el líquido en cada semicasquete extremo, es:

Aplicando Pitágoras: [texx]R^2=y^2+r^2[/texx] despejando el radio [texx]r(y)[/texx] en función de la altura de líquido (que puede ser positiva o negativa pues cojo origen de referencia y=0 en el eje de simetría del depósito, es decir a una distancia R de su supeficíe lateral )

quedando que [texx]r=\sqrt[ ]{R^2-y^2}[/texx] con [texx]-R\leq{}y\leq{}R[/texx] , fijate que el radio del semicírculo va desde cero ([texx]r=0[/texx]) si [texx]y=-R[/texx] ó [texx]y=R[/texx] y es máximo en el centro cuando [texx]y=0[/texx] con [texx]r=R[/texx]

Tu fórmula está mal ya que: [texx]0\leq{}r\leq{R}[/texx]

Saludos.

P.D.: Vaya se me adelantaron Abdulai e Ignacio. Desenfundaron más rápido..

P.P.D: Haciendo [texx]h=R+y[/texx], mi expresión para el radio coincide con la expresión dada por Ignacio, solo que el ha llamado al radio de los semicasquetes esféricos [texx]r[/texx] y yo [texx]R[/texx].

[Abdulai]

Es el área de los laterales del cilindro, ya obtuve la función área del cilindro sin esa parte que parece un casquillo esférico, pero ahora necesito la del casquillo.

Con ello ya podría aplicar el teorema de torricelli.

Aunque te agradecería  si me mostraras una manera de obtener la función area de toda la figura en cualquier instante.

Me faltó comentar esto.

Lo que estás necesitando es el volumen de líquido en función de la altura.

- Para calcular el volumen de la parte cilíndrica podés usar el área lateral y multiplicar por el largo (lo que estás haciendo).

- Pero para la parte esférica no, el procedimiento es otro.

[AndresLargo]

Es el área de los laterales del cilindro, ya obtuve la función área del cilindro sin esa parte que parece un casquillo esférico, pero ahora necesito la del casquillo.


Con ello ya podría aplicar el teorema de torricelli.


Aunque te agradecería  si me mostraras una manera de obtener la función area de toda la figura en cualquier instante.

Supongo que te refieres a la superficie libre del agua. Supongo que el cilindro tiene un largo [texx]L[/texx] y un radio [texx]r[/texx], y esta rematado por dos semiesferas del mismo radio. A la altura del agua la llamaré [texx]h, 0 \leq{} h \leq{} 2r[/texx].

La superficie libre del agua esta formado por un rectángulo en la parte c



ilíndrica y dos semicircunferencias, una en cada semiesfera. El largo del rectángulo es el del cilindro, L, y el ancho coincide con el diámetro de las circunferencias. llamemos [texx]s[/texx] a su radio.

En todo momento, [texx]r, s\textrm{ y }\left |{r-h}\right |[/texx] forman un triángulo rectángulo, tanto si es [texx]h < r\textrm{ como si es }h > r[/texx], por lo que

[texx]s = \sqrt[ ]{r^2 - \left |{r-h)}\right |^2}=\sqrt[ ]{r^2 - r^2 + 2rh-h^2}= \sqrt[ ]{2rh-h^2}[/texx]

Entonces el área de la parte cilindrica es [texx]2s\cdot{}L = 2\sqrt[ ]{2rh-h^2}\cdot{}L[/texx], y el de las dos semicircunferencias, que juntas hacen una, es [texx]\pi(2rh - h^2)[/texx]. Por tanto, la superficie libre en función de la altura es:

[texx]S(h) = 2\sqrt[ ]{2rh-h^2}\cdot{}L + \pi(2rh - h^2)[/texx]

¿Era eso lo que buscabas? En cuanto pueda adjunto un gráfico.




Puedes desplazar el punto D para variar la altura del líquido.

Saludos,

Hola agradezco tu explicación bastante  pero ¿cómo podría encontrar la superficie ocupada? en función de la altura

[Ignacio Larrosa]

Hola agradezco tu explicación bastante  pero ¿cómo podría encontrar la superficie ocupada? en función de la altura

Pero eso es justamente lo que he calculado. S(h) es la superficie en función de la altura. Supongo que es lo que necesitas para plantear la ecuacion diferencial de la altura o el volumen con el tiempo, supuesto que conoces la sección del desague.

No me puedo extender más, que te contesto desde el móvil.

Saludos

[AndresLargo]

Agradezco a Abdulai robinlambada & Ignacio por permitirme solucionar esto.


Gracias  son grandes.