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Autor Tema: Conjunto potencia  (Leído 87 veces)
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« : 10/11/2017, 02:40:40 pm »

Hola de nuevo.
A ver si he entendido el concepto de conjunto potencia con estos ejercicios, ya que hay algunas diferencias sutiles de notación que es muy probable que me hayan hecho caer en un error.

Gracias por adelantado por n-ésima vez.

1. [texx]P (\left\{{\left\{{a,b}\right\}, \left\{{c}\right\}}\right\})[/texx]
Habra [texx]2^2[/texx] subconjuntos
[texx]\left\{{\emptyset, \left\{{\left\{{a, b}\right\}}\right\}}, \left\{{\left\{{c}\right\}}\right\}, \left\{{\left\{{a, b}\right\}}, \left\{{c}\right\}\right\}\right\}[/texx]

2. [texx]P (\left\{{1, 2, 3, 4}\right\})[/texx]
Habrá [texx]2^4[/texx] subconjuntos
[texx]\left\{{\emptyset, \left\{{1}\right\}, \left\{{2}\right\}, \left\{{3}\right\}, \left\{{4}\right\}, \left\{{1, 2}\right\}, \left\{{1, 3}\right\}, \left\{{1, 4}\right\}, \left\{{2, 3}\right\}, \left\{{2, 4}\right\}, \left\{{3, 4}\right\}, \left\{{1, 2, 3}\right\}, \left\{{1, 2, 4}\right\}, \left\{{1, 3, 4}\right\}, \left\{{2, 3, 4}\right\}, \left\{{1, 2, 3, 4}\right\}}\right\}[/texx]

3. [texx]P (\left\{{\left\{{\emptyset}\right\}, 5}\right\}[/texx]
Habra [texx]2^2[/texx] subconjuntos
[texx]\left\{{\emptyset, \left\{{\emptyset}\right\}, \left\{{5}\right\}, \left\{{\left\{{\emptyset}\right\}}, 5\right\}}\right\}[/texx]

4. [texx]P (\left\{{\mathbb{R, Q}}\right\})[/texx]
Tendremos [texx]2^2[/texx] subconjuntos
[texx]\left\{{\emptyset, \left\{{\mathbb{R}}\right\}, \left\{{\mathbb{Q}}\right\}, \left\{{\mathbb{R, Q}}\right\}}\right\}[/texx]

5. [texx]P (P (\left\{{2}\right\}))[/texx]

Empiezo por [texx]P (\left\{{2}\right\})[/texx]
Tendremos [texx]2^1[/texx] subconjuntos
[texx]P (\left\{{2}\right\}) = \left\{{\emptyset, \left\{{2}\right\}}\right\} [/texx]

Entonces [texx]P (P (\left\{{2}\right\}))[/texx] = [texx]P (\left\{{\emptyset, \left\{{2}\right\}}\right\})[/texx]
Y tendremos [texx]2^2[/texx] subconjuntos que serán
[texx]\left\{{\emptyset, \left\{{\emptyset}\right\}, \left\{{\left\{{2}\right\}}\right\}, \left\{{\emptyset}, \left\{{2}\right\}\right\}}\right\}[/texx]

6. [texx]P (\left\{{1, 2}\right\})\times{P (\left\{{3}\right\}})[/texx]
Por un lado tenemos que [texx]P (\left\{{1, 2}\right\})[/texx] contiene [texx]2^2[/texx] subconjuntos, siendo [texx] \left\{{\emptyset, \left\{{1}\right\}, \left\{{2}\right\}, \left\{{1, 2}\right\}}\right\}[/texx]

Por otro lado tenemos que [texx]P (\left\{{3}\right\})[/texx] contiene [texx]2^1[/texx] subconjuntos, siendo [texx]\left\{{\emptyset, \left\{{3}\right\}}\right\}[/texx]

Entonces [texx]P (\left\{{1, 2}\right\})\times{P (\left\{{3}\right\}})[/texx] será el conjunto de pares ordenados

[texx]\left\{{(\left\{{1}\right\}, \left\{{3}\right\}), (\left\{{2}\right\}, \left\{{3}\right\}), (\left\{{1, 2}\right\}, \left\{{3}\right\})}\right\}[/texx]

A ver si lo he entendido: ¿el conjunto vacío sólo podría formar parte de un par ordenado si es dentro de otro conjunto? Es decir, [texx]\left\{{\emptyset}\right\}[/texx]. Por ejemplo, [texx](\left\{{\emptyset}\right\}, 2)[/texx]

7. [texx]P (\left\{{1, 2}\right\})\times\left\{{3}\right\}[/texx]
A diferencia del anterior, tenemos
[texx]\left\{{(\left\{{1}\right\}, 3), (\left\{{2}\right\}, 3), (\left\{{1, 2}\right\}, 3)}\right\}[/texx]

8. [texx]\left\{{\mathbb{X}\in{P (\left\{{1, 2, 3}\right\})} : \left |{\mathbb{X}}\right |\leq{1}}\right\}[/texx]

Siendo [texx]P (\left\{{1, 2, 3}\right\})[/texx], estará formado por [texx]2^3[/texx] subconjuntos que son:
[texx]\left\{{\emptyset, \left\{{1}\right\}, \left\{{2}\right\}, \left\{{3}\right\}, \left\{{1, 2}\right\}, \left\{{1, 3}\right\}, \left\{{2, 3}\right\}, \left\{{1, 2, 3}\right\}, \left\{{1, 2, 3}\right\}}\right\}[/texx]
Si he entendido bien el enunciado, me piden los conjuntos que pertenecen al conjunto potencia de cardinalidad igual o menor a uno.

La respuesta sería:
[texx]\left\{{\emptyset, \left\{{1}\right\}, \left\{{2}\right\}, \left\{{3}\right\}}\right\}[/texx]

9. [texx]\left\{{\mathbb{X}\subseteq{P (\left\{{1, 2, 3}\right\})} : \left |{\mathbb{X}}\right |\leq{1}}\right\}[/texx]
Relacionado con el anterior.
Aquí diría que sólo el conjunto vacío
Tendríamos que hablar de un conjunto formado por [texx]\mathbb{X}[/texx] es decir [texx]\left\{{\mathbb{X}}\right\}[/texx]
No sé si me explico...  :sorprendido:


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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #1 : 10/11/2017, 03:29:06 pm »

Los 5 primeros está bien.

6. [texx]P (\left\{{1, 2}\right\})\times{P (\left\{{3}\right\}})[/texx] Por un lado tenemos que [texx]P (\left\{{1, 2}\right\})[/texx] contiene [texx]2^2[/texx] subconjuntos, siendo [texx] \left\{{\emptyset, \left\{{1}\right\}, \left\{{2}\right\}, \left\{{1, 2}\right\}}\right\}[/texx]
Por otro lado tenemos que [texx]P (\left\{{3}\right\})[/texx] contiene [texx]2^1[/texx] subconjuntos, siendo [texx]\left\{{\emptyset, \left\{{3}\right\}}\right\}[/texx]
Entonces [texx]P (\left\{{1, 2}\right\})\times{P (\left\{{3}\right\}})[/texx] será el conjunto de pares ordenados
[texx]\left\{{(\left\{{1}\right\}, \left\{{3}\right\}), (\left\{{2}\right\}, \left\{{3}\right\}), (\left\{{1, 2}\right\}, \left\{{3}\right\})}\right\}[/texx]

Tienen que aparecer [texx]8[/texx] elementos pues [texx]\left |{M\times N}\right |=\left |{M}\right |\cdot \left |{N}\right |[/texx]. Sería

           [texx]\left\{{\emptyset, \left\{{1}\right\}, \left\{{2}\right\}, \left\{{1, 2}\right\}}\right\}\times \left\{{\emptyset, \left\{{3}\right\}}\right\}=\left\{(\emptyset,\emptyset),\;(\emptyset,\left\{{3}\right\}),\;\ldots ,\;(\{1,2\},\{3\})\right\}.[/texx]

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« Respuesta #2 : 10/11/2017, 04:37:27 pm »

Continuando por donde lo dejó Fernando Revilla:

7. [texx]P (\left\{{1, 2}\right\})\times\left\{{3}\right\}[/texx]
A diferencia del anterior, tenemos
[texx]\left\{{(\left\{{1}\right\}, 3), (\left\{{2}\right\}, 3), (\left\{{1, 2}\right\}, 3)}\right\}[/texx]
No,

[texx]P (\{1, 2\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} \}[/texx]

Y [texx]\emptyset[/texx] es un elemento de este conjunto, exactamente igual que los demás.

Entonces el producto es:

[texx]\{(\emptyset, 3), (\{1\}, 3), (\{2\}, 3), (\{1, 2\}, 3)\}[/texx]


8. [texx]\left\{{\mathbb{X}\in{P (\left\{{1, 2, 3}\right\})} : \left |{\mathbb{X}}\right |\leq{1}}\right\}[/texx]

Siendo [texx]P (\left\{{1, 2, 3}\right\})[/texx], estará formado por [texx]2^3[/texx] subconjuntos que son:
[texx]\left\{{\emptyset, \left\{{1}\right\}, \left\{{2}\right\}, \left\{{3}\right\}, \left\{{1, 2}\right\}, \left\{{1, 3}\right\}, \left\{{2, 3}\right\}, \left\{{1, 2, 3}\right\}, \left\{{1, 2, 3}\right\}}\right\}[/texx]
Si he entendido bien el enunciado, me piden los conjuntos que pertenecen al conjunto potencia de cardinalidad igual o menor a uno.

La respuesta sería:
[texx]\left\{{\emptyset, \left\{{1}\right\}, \left\{{2}\right\}, \left\{{3}\right\}}\right\}[/texx]

Bien, salvo que en el conjunto potencia repetiste el último de sus elementos.

9. [texx]\left\{{\mathbb{X}\subseteq{P (\left\{{1, 2, 3}\right\})} : \left |{\mathbb{X}}\right |\leq{1}}\right\}[/texx]
Relacionado con el anterior.
Aquí diría que sólo el conjunto vacío
Tendríamos que hablar de un conjunto formado por [texx]\mathbb{X}[/texx] es decir [texx]\left\{{\mathbb{X}}\right\}[/texx]
No sé si me explico...  :sorprendido:

No, aqui te piden subconjuntos del conjunto potencia que tengan cardinalidad menor o igual que uno. Son los subconjuntos formados por uno o ninguno de los elementos del conjunto Potencia:

[texx]\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{1\}\}, \{\{2\}\}, \ldots, \{\{1, 2, 3\}\}\}[/texx]

Saludos,



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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
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