Hola
Leyendo el libro de Steven Roman, "Advanced Linear Algebra" en uno de los ejercicios del capitulo uno el nombra a los coeficientes binomiales definidos de la siguiente forma
[texx]\binom{n}{k}_q=\frac{(q^n-1)...(q-1)}{(q^k-1)...(q-1)(q^{n-k}-1)...(q-1)}[/texx]
El ejercicio consiste en contar el numero de sub-espacios vectoriales de dimensión [texx]k[/texx] de un espacio vectorial [texx]n[/texx]-dimensional sobre un cuerpo finito de "tamaño" [texx]q[/texx]. En fin, debo confesar que me llamaron mucho la atención estos llamados coeficientes Gaussianos y quise investigar acerca de ellos pero tristemente google no me ayudo mucho a conseguir información. Me gustaría que me ayudaran con algunos libros, artículos o cualquier cosa que me hable acerca de estos coeficientes, como deducirlos, sus aplicaciones y si es posible su interpretación geométrica. Seria de mucha ayuda si los documentos estan en español (pero no es limitativo)
En español no he encontrado nada relevante. En inglés basta que vayas a la Wikipedia:
https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_binomial_coefficientpara encontrar muchas referencias sobre el tema en su bibliografía.
Como documento introductorio puedes leer este:
http://www-groups.mcs.st-andrews.ac.uk/~pjc/Teaching/MT5821/1/l6.pdfAllí está explicado porque ese coeficiente es el número de subespacios [texx]k[/texx]-dimensionales de un espacio vectorial de dimensión [texx]n[/texx] sobre un cuerpo finitio de [texx]q[/texx] elementos.
Te resumo la idea: para definir un subespacio [texx]k[/texx]-dimensional necesitamos escoger [texx]k[/texx] vectores independientes (una base del mismo).
Para escoger el primero podemos escoger cualquiera de los [texx]q^n[/texx] vectores menos el cero: [texx]q^n-1[/texx] opciones.
Para el segundo cualquiera menos alguno de los [texx]q[/texx] múltiplos del primero: [texx]q^n-q[/texx]
Para el tercero cualquiera menos alguno de los [texx]q^2[/texx] combinaciones lineales de los dos primeros: [texx]q^n-q^2[/texx]
En definitiva: [texx](q^n-1)(q^n-q)\ldots (q^n-q^{k-1})[/texx]
Pero hemos de tener en cuenta que un mismo subespacio vectorial [texx]k[/texx]-dimensional puede definirse con muchas bases distintas. El razonamiento para contar de cuantas es el análogo al anterior:
Para escoger el primer vector de la base podemos escoger cualquiera de los [texx]q^k[/texx] vectores del subespacio menos el cero: [texx]q^k-1[/texx] opciones.
Para el segundo cualquiera menos alguno de los [texx]q[/texx] múltiplos del primero: [texx]q^k-q[/texx]
Para el tercero cualquiera menos alguno de los [texx]q^2[/texx] combinaciones lineales de los dos primeros: [texx]q^k-q^2[/texx]
En definitiva: [texx](q^k-1)(q^k-q)\ldots (q^k-q^{k-1})[/texx]
Por tanto el número de subespacios es el cociente:
[texx]
\dfrac{(q^n-1)(q^n-q)\ldots (q^n-q^{k-1})}{(q^k-1)(q^k-q)\ldots (q^k-q^{k-1})}=\dfrac{(q^n-1)q(q^{n-1}-1)q^2(q^{n-2}-1)\ldots q^{k-1}(q^{n-k+1}-1)}{(q^k-1)q(q^{k-1}-1)q^2(q^{k-2}-1)\ldots q^{k-1}(q-1)}=\\\qquad =\dfrac{(q^n-1)(q^{n-1}-1)(q^{n-2}-1)\ldots (q^{n-k+1}-1)}{(q^k-1)(q^{k-1}-1)(q^{k-2}-1)\ldots (q-1)}=\displaystyle\binom{n}{k}_q[/texx]
Saludos.
