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Autor Tema: Un ejemplo de convergencia de funciones simples  (Leído 977 veces)
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GMat
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« : 10/11/2017, 12:25:18 am »

Saludos

En la definición de la integral de Lesbesgue se dice que una función [texx]f:E\rightarrow\mathbb{R}[/texx] es L-integrable si existe una sucesión de funciones simples integrables [texx]\phi_n[/texx] tales que [texx]\phi_n\overset{u}{\longrightarrow}f[/texx] y en ese caso se tiene que  [texx]\int_Efdm=\underset{n\rightarrow\infty}{Lim}\int_E\phi_ndm[/texx]. Ahora si cambiamos en la definición el hecho de que [texx]\phi_n[/texx] converge uniformemente por otro tipo de convergencia el resultado no es favorable

Tengo unos ejemplos donde si la sucesión [texx]\phi_n[/texx] converge en medida o en casi todo punto no se cumple que [texx]\int_Efdm=\underset{n\rightarrow\infty}{Lim}\int_E\phi_ndm[/texx]. Ahora lo que me gustaría tener es un ejemplo donde la convergencia sea puntual.
En particular me gustaria un ejemplo que muestre que [texx]\phi_n\overset{p}{\longrightarrow}[/texx] entonces [texx]\int_E\phi_n\nrightarrow0[/texx]

Gracias de antemano
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 10/11/2017, 07:06:24 am »

Hola

 Toma por ejemplo [texx]\phi_n=n\cdot \mathbf{1}_{(1/n,2/n)}[/texx], donde [texx]\mathbf{1}_{(1/n,2/n)}[/texx] es la función indicatriz en el intervalo [texx](1/n,2/n)[/texx] es decir:

[texx] \mathbf{1}_{(1/n,2/n)}(x)=\begin{cases} 1 & \text{si}&x\in (1/n,2/n)\\0 & \text{si}& x\not\in (1/n,2/n)\end{cases}[/texx]

Saludos.
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GMat
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« Respuesta #2 : 10/11/2017, 12:44:47 pm »

Hola

Gracias por ese ejemplo. Siguiendo con el analisis de la definicion de la integral de Lebesgue vi que si la sucesion de funciones simples [texx]\phi_n[/texx] converge uniformente a una funcion [texx]f[/texx] se define la integral de Lebesgue como [texx]\int_Efdm=\underset{n\rightarrow\infty}{Lim}\int_E\phi_ndm[/texx] pero por lo que veo [texx]\underset{n\rightarrow\infty}{Lim}\int_E\phi_ndm[/texx] tiene que converger, pero ¿esto ocurre siempre?

Se me ocurrió la siguiente pregunta, si tengo una sucesión de funciones simples [texx]\phi_n[/texx] tales que [texx]\phi_n\overset{u}{\longrightarrow}f[/texx] es posible que [texx]\int\phi_ndm\nrightarrow f[/texx], esto es posible si bajo las hipotesis anteriores [texx]\int_E\phi_ndm=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/texx], ¿tales [texx]\phi_n[/texx] existen?

A mi parecer si pero no se me ocurre ningún ejemplo de esto

Saludos
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