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juanc
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« : 31/10/2017, 12:06:32 pm »

Sea  [texx](\Omega , F)[/texx] un espacio medible

Sea [texx]f:\Omega\rightarrow{[0,+\infty]}[/texx]

tal que

[texx]f(x)=\begin{cases} + \infty & \text{si}& x\in{A^c}\\0 & \text{si}& x\in{A}\end{cases}[/texx]

donde [texx]A\in{F}[/texx]

pruebe que [texx]f[/texx] es medible
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #1 : 31/10/2017, 12:22:02 pm »

Sea  [texx](\Omega , F)[/texx] un espacio medible . Sea [texx]f:\Omega\rightarrow{[0,+\infty]}[/texx] tal que
[texx]f(x)=\begin{cases} + \infty & \text{si}& x\in{A^c}\\0 & \text{si}& x\in{A}\end{cases}[/texx] donde [texx]A\in{F}[/texx]
pruebe que [texx]f[/texx] es medible

Si [texx]G\subset [0,+\infty][/texx] es abierto, entonces

          [texx]f^{-1}(G)=\begin{cases}{ \Omega}&\text{si}& 0\in G,\;+\infty\in G\\A & \text{si}& 0\in G,\;+\infty\notin G\\A^c & \text{si}& 0\notin G,\;+\infty\in G\\\emptyset & \text{si}& 0\notin G,\;+\infty\notin G\end{cases}[/texx]

es decir, en cualquier caso, [texx]f^{-1}(G)\in F.[/texx]

P.D. Por favor, corrige el título.
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