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Autor Tema: Subaditivididad  (Leído 3416 veces)
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« Respuesta #20 : 24 Diciembre, 2017, 10:40 »

Hola

Creo que no has visto cómo el artículo adjunto resuelve los teoremas 1 y 2, intuyo que esa es la forma de resolver nuestro problema.

Saludos

* pjm-v14-n2-p04-s.pdf (1289.05 KB - descargado 104 veces.)
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Luis Fuentes
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« Respuesta #21 : 26 Diciembre, 2017, 08:55 »

Hola

 He hecho este gráfico para "ver" fácilmente como se comportan las funciones implicadas.

[texx]w(p)=e^{-\beta(-\ln p)^{\alpha}}[/texx]

[texx]g(p)=w(p)+w(b-p)[/texx]

 La línea horizontal punteada indica el valor de [texx]w(p)[/texx]. Para que sea subaditiva el mínimo de la gráfica roja debe de estar por encima de la línea puntedada.

 Las barras horizontales delimitan una zona donde, básandose en el punto de inflexión de [texx]w(p)[/texx], es inmediato que la función [texx]g(p)[/texx] es cóncava o convexa lo cual garantiza en esa franja la unicidad del punto singular en [texx]b/2[/texx] (mínimo o máximo).


 
 En mi primer análisis sólo consideraba el caso [texx]\beta=1[/texx] y en [texx][0,1][/texx]. Pero eso no es interesante, claro, estaba confundido. En ese caso el mínimo nunca estaba en [texx]p=0[/texx].

 Hasta hoy no he podido mirar nada. A partir de mañana empiezo a mirar el caso [texx]\alpha<1[/texx] pero con [texx]\beta[/texx] arbitrario y subaditvidad en [texx][0,b][/texx].

Saludos.
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« Respuesta #22 : 26 Diciembre, 2017, 09:18 »

Fijate en el teorema 1 y 2 del trabajo que adjunté anteriormente, para mi ahí está la clave de la demostración analítica. Lo primero que hay que hacer es hallar la condición necesaria que debe cumplir [texx]b[/texx] y eso surge de definir (el análisis lo hace para [texx]p\in (0,b/2)[/texx]

[texx]G(p,b)=e^{-\beta(-\ln(b/2- p)^{\alpha}}+e^{-\beta(-\ln (b/2+p)^{\alpha}}-e^{-\beta(-lnb)^{\alpha}}[/texx]. Luego

[texx]G(0,b)=2e^{-\beta(-\ln(b/2)^{\alpha}}-e^{-\beta(-lnb)^{\alpha}}\geq{}0[/texx] de ahí surge un valor de [texx]b [/texx] necesario, creo que no puede calcularse explícitamente este valor de [texx]b[/texx], que dependerá de los valores de [texx]\alpha,\beta[/texx] y fijados estos valores debería ser único. Luego halla una condición de primer orden de [texx]G(p,b)[/texx] respecto a [texx]p[/texx] y luego vuelve a derivar usando la condición de primer orden. Yo intenté hacerlo, pero la derivada de lo que él llama función [texx]\phi[/texx] debería quedar una expresión más sencilla con un polinomio, pero no he llegado.
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« Respuesta #23 : 27 Diciembre, 2017, 08:53 »

Hola

 No acaba de salir.

 Sea [texx]w(p)=e^{-\beta(-\ln p)^{\alpha}}=e^{f(p)}[/texx] con [texx]f(p)=-\beta(-\ln p)^{\alpha}[/texx].

 Entonces [texx]w'(p)=f'(p)w(p)[/texx]

 Sea [texx]p_0[/texx] el único punto de inflexión de [texx]w(p)[/texx].

 Sea [texx]g(p)=w(b)+w(b-p)[/texx].

 Y por tanto [texx]g'(p)=w'(b)-w'(b-p)[/texx].

 La subadtividad se tiene si y sólo si:

[texx] min\{g(p)|p\in [0,b/2]\}\geq w(b)[/texx]

 (el considerar como hace en el artículo [texx]w(b/2-q)+w(b/p+q)[/texx] es un detalle intrascendente, simplemente se hace el cambio de variable [texx]q=b/2-p[/texx]).

 Se tiene que [texx]g'(0)>0[/texx] y por tanto en [texx]p=0[/texx] hay un mínimo local.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

 En [texx]b/2[/texx] se tiene que [texx]g'(b/2)=0[/texx] y por tanto hay un punto crítico. Dado que [texx]g''(b/2)=2w''(b/2)[/texx]:

 - Es un máximo si [texx]b<2p_0[/texx].
 - Es un mínimo si [texx]b>2p_0[/texx].

 Lo que hay que probar es que cualquier otro punto crítico, si lo hubiese, es un máximo o al menos no supera [texx]w(1)[/texx]. Esto es lo que no acaba de salirme. La idea del artículo es la siguiente.

 Si tenemos un tal punto crítico [texx]p[/texx] cumpliría:

[texx] g'(p)=0[/texx]

 Equivalentemente:

[texx] f'(p)w(p)-f'(b-p)w(b-p)=0[/texx]

 de donde [texx]w(b-p)=w(p)\dfrac{f'(p)}{f'(b-p)}[/texx]

 En ese punto crítico se tiene entonces que:

[texx] g(p)=w(p)+w(b-p)= \phi(p)=w(p)\left(1+\dfrac{f'(p)}{f'(b-p)}\right)[/texx]

 La diferencia con el artículo y el problema está en que si ahora derivamos respecto de [texx]p[/texx] queda:

[texx] \phi'(p)=w(p)\color{blue}\left(f'(p)+\dfrac{f'(p)^2}{f'(b-p)}+\dfrac{f''(p)f'(b-p)+f'(p)f''(b-p)}{f'(b-p)^2}\right)\color{black}[/texx]

 Esa expresión en azul, para la función del artículo es polinómica, manejable; en nuestro caso es complicada. El problema de fondo está en que no se puede poner de manera cómoda [texx]ln(b-p)[/texx] en términos de [texx]ln(p)[/texx]).

 Saludos.
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« Respuesta #24 : 27 Diciembre, 2017, 09:06 »



Y el [texx]b[/texx] máximo, eso el lo hace evalúando en [texx]p=0[/texx]? Y por la condición de primero orden no podes expresar  [texx]f'(p)=\displaystyle\frac{f'(b-p)w(b-p)}{w(p)}[/texx] y te vaya quedando en función de [texx]b-p[/texx].

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« Respuesta #25 : 27 Diciembre, 2017, 09:44 »

Hola

Y el [texx]b[/texx] máximo, eso el lo hace evalúando en [texx]p=0[/texx]?

Si; en nuestro caso [texx]p=b/2[/texx]. Nada nuevo. La cosa es probar lo que falta.

Cita
Y por la condición de primero orden no podes expresar  [texx]f'(p)=\displaystyle\frac{f'(b-p)w(b-p)}{w(p)}[/texx] y te vaya quedando en función de [texx]b-p[/texx].

Eso ya lo he usado para quitarme de en medio el [texx]w(b-p)[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #26 : 27 Diciembre, 2017, 10:28 »

Hola

No, [texx]b[/texx] tiene que salir de hacer [texx]G(0,b)=2e^{-\beta(-\ln(b/2)^{\alpha}}-e^{-\beta(-lnb)^{\alpha}}\geq{}0[/texx] y supuestamente debería ser único, creo que sale solamente numéricamente, y ese valor es el que usas para evaluar

[texx]\phi'(p)=w(p)\color{blue}\left(f'(p)+\dfrac{f'(p)^2}{f'(b-p)}+\dfrac{f''(p)f'(b-p)+f'(p)f''(b-p)}{f'(b-p)^2}\right)\color{black}[/texx], fíjate cómo es que lo hace en la demostración del teorema 2.

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« Respuesta #27 : 27 Diciembre, 2017, 11:19 »

Hola

No, [texx]b[/texx] tiene que salir de hacer [texx]G(0,b)=2e^{-\beta(-\ln(b/2)^{\alpha}}-e^{-\beta(-lnb)^{\alpha}}\geq{}0[/texx]

Eso es lo mismo que te estoy diciendo. Del análisis anterior (si se completase) se deduce que el mínimo de [texx]g(p)[/texx] en [texx]p\in [0,b/2][/texx] o bien se alcanza en [texx]p=0[/texx] o bien en [texx]p=b/2[/texx].

Si se alcanza en [texx]p=0[/texx], entonces [texx]g(0)=w(0)+w(b)=w(b)\geq w(b)[/texx] y se cumple la condición de subaditividad. Así que lo único relevante es comprobar si [texx]g(b/2) \geq w(b)[/texx], y eso es la condición que dices:

[texx]2e^{-\beta(-\ln(b/2)^{\alpha}}-e^{-\beta(-lnb)^{\alpha}}\geq 0[/texx]

El [texx]b[/texx] sería la solución de la igualdad: [texx]2w(b/2)=w(b)[/texx].

Cita
y supuestamente debería ser único, creo que sale solamente numéricamente,


Correcto. Es claro que la ecuación [texx]2w(b/2)=w(b)[/texx] tiene al menos una solución trivial en [texx]b=0[/texx]. Gráficamente parece que la función [texx]2w(b/2)-w(b)[/texx] es cóncava, lo cual indica que a lo sumo hay otra solución. Falta ahí comprobarlo analíticamente.

Cita
y ese valor es el que usas para evaluar

[texx]\phi'(p)=w(p)\color{blue}\left(f'(p)+\dfrac{f'(p)^2}{f'(b-p)}+\dfrac{f''(p)f'(b-p)+f'(p)f''(b-p)}{f'(b-p)^2}\right)\color{black}[/texx], fíjate cómo es que lo hace en la demostración del teorema 2.

Ya me he fijado y es como te dije en mi anterior mensaje. La diferencia es que en su caso la función [texx]f(p)[/texx] es polinómica y en nuestro caso no.

Saludos.
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« Respuesta #28 : 27 Diciembre, 2017, 12:12 »

Hola

Y qué deberíamos estudiar de

[texx]\phi'(p)=w(p)\color{blue}\left(f'(p)+\dfrac{f'(p)^2}{f'(b-p)}+\dfrac{f''(p)f'(b-p)+f'(p)f''(b-p)}{f'(b-p)^2}\right)\color{black}[/texx]?

Además, para el intervalo con [texx][0,b][/texx] y el [texx]b[/texx] que surge de [texx]2w(b/2)=w(b)[/texx] es una condición necesaria, pero no suficiente, no?

Saludos
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« Respuesta #29 : 27 Diciembre, 2017, 12:41 »

Hola

Y qué deberíamos estudiar de

[texx]\phi'(p)=w(p)\color{blue}\left(f'(p)+\dfrac{f'(p)^2}{f'(b-p)}+\dfrac{f''(p)f'(b-p)+f'(p)f''(b-p)}{f'(b-p)^2}\right)\color{black}[/texx]?

Pues obtener la información suficente para probar que en [texx][0,b/2][/texx] se cumple [texx]\phi(p)>w(b)[/texx]. Al ser polinomios de grado tres en al caso del artículo puede controlar eso.

Cita
Además, para el intervalo con [texx][0,b][/texx] y el [texx]b[/texx] que surge de [texx]2w(b/2)=w(b)[/texx] es una condición necesaria, pero no suficiente, no?

Que es condición necesaria es inmediata; pero si completamos lo que falta, lo que te digo que no sale, tendríamos también suficiente.

Saludos.
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« Respuesta #30 : 29 Diciembre, 2017, 11:11 »

Si tomo [texx]\beta=1[/texx] se simplifica algo esa expresión? Además para estar seguros [texx]\phi[/texx] tiene que ser monótona, cóncava
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« Respuesta #31 : 29 Diciembre, 2017, 12:05 »

Hola

Si tomo [texx]\beta=1[/texx] se simplifica algo esa expresión? Además para estar seguros [texx]\phi[/texx] tiene que ser monótona, cóncava

Estuve haciendo pruebas gráficas y la cosa no funciona.

Es decir esa presunta simplificación de tomar:

[texx]g(p)=w(p)+w(b-p)= \phi(p)=w(p)\left(1+\dfrac{f'(p)}{f'(b-p)}\right)[/texx]

no vale, porque esa [texx]\phi(p)[/texx] no cumple lo que nos interesaría, que fuese siempre mayor que [texx]w(b)[/texx] (una vez garantizado que [texx]b[/texx] es la raíz de [texx]2w(b/2)=w(b)[/texx].

Entiéndase bien lo que digo; eso no quiere decir que [texx]g(p)[/texx] no lo cumpla; lo que pasa que esa [texx]\phi(p)[/texx] es una función que solo coincide con [texx]g(p)[/texx] en los puntos críticos de esta (de [texx]g(p)[/texx], no de [texx]\phi(p)[/texx]) en la esperanza de que fuese una función más manejable y que cumpliese [texx]\phi(p)>w(b)[/texx]. Pero no  lo cumple en general.

Saludos.
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« Respuesta #32 : 29 Diciembre, 2017, 12:16 »

Hola

Y para esta función?

[texx]f(x)=\displaystyle\frac{x^\alpha}{(x^\alpha+(1-x)^\alpha)^{\beta}}[/texx] con [texx]0<\alpha<1,\beta>0[/texx]
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« Respuesta #33 : 29 Diciembre, 2017, 12:20 »

Hola

Y para esta función?

[texx]f(x)=\displaystyle\frac{x^\alpha}{(x^\alpha+(1-x)^\alpha)^{\beta}}[/texx] con [texx]0<\alpha<1,\beta>0[/texx]

Pues habrá que estudiarlo; hasta el año que viene, esto es, el Martes, no puedo mirarlo con calma.

Saludos.
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« Respuesta #34 : 25 Febrero, 2018, 09:41 »

Se cumple que

[texx]min\left\{{w(p)+w(b-p)}\right\}\geq{}min\left\{{w(p)}\right\}+min\left\{{w(b-p)}\right\}[/texx].

Y de aquí probar que

[texx]min\left\{{w(p)}\right\}+min\left\{{w(b-p)}\right\}\geq{}w(b)[/texx],

mmm, creo que no pq [texx]min\left\{{w(p)}\right\}+min\left\{{w(b-p)}\right\}=0[/texx]

Saludos
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