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Autor Tema: Subaditivididad  (Leído 1031 veces)
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« : 30/10/2017, 10:43:52 am »

Hola

Si tengo una función que cumple:

[texx]f(x)[/texx] con [texx]x\in[0,1][/texx] es creciente y [texx]f(0)=0,f(1)=1[/texx] (empieza convexa y luego termina cóncava, aunque creo que esto puede deducirse de los siguientes puntos), además cumple:

a) [texx]f(rp)>rf(p)[/texx] con [texx]0<r<1[/texx]
b) [texx]f(p)+f(1-p)<1[/texx] para todo [texx]p\in(0,1)[/texx]
c) [texx]\displaystyle\frac{f(\lambda p)}{f(p)}\leq{}\displaystyle\frac{f(\lambda q)}{f(q)}[/texx] con [texx]\lambda\in(0,1)[/texx], [texx]p>q[/texx].

Qué relación tiene esta función con una función subaditiva, es decir

[texx]f(x)+f(y)\geq{}f(x+y)[/texx] para todo [texx]x,y,x+y\in[0,1][/texx]

Es decir si [texx]f[/texx] es subaditiva implica a),b) y c) (o al revés) o directamente no podemos sacar una conclusión en la dirección de la proposición.


Saludos
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 31/10/2017, 08:51:25 am »

Hola

Si tengo una función que cumple:

[texx]f(x)[/texx] con [texx]x\in[0,1][/texx] es creciente y [texx]f(0)=0,f(1)=1[/texx] (empieza convexa y luego termina cóncava, aunque creo que esto puede deducirse de los siguientes puntos), además cumple:

a) [texx]f(rp)>rf(p)[/texx] con [texx]0<r<1[/texx]
b) [texx]f(p)+f(1-p)<1[/texx] para todo [texx]p\in(0,1)[/texx]
c) [texx]\displaystyle\frac{f(\lambda p)}{f(p)}\leq{}\displaystyle\frac{f(\lambda q)}{f(q)}[/texx] con [texx]\lambda\in(0,1)[/texx], [texx]p>q[/texx].

Qué relación tiene esta función con una función subaditiva, es decir

[texx]f(x)+f(y)\geq{}f(x+y)[/texx] para todo [texx]x,y,x+y\in[0,1][/texx]

Es decir si [texx]f[/texx] es subaditiva implica a),b) y c) (o al revés) o directamente no podemos sacar una conclusión en la dirección de la proposición.

A vuelapluma no sé si has colocado alguna desigualdad de al revés. Por ejemplo si tomamos [texx]x=y[/texx] en la subaditividad se tiene que:

[texx]2f(x)\geq f(2x)[/texx]

que es justo la desigualdad opuesta a la (a).

Saludos.
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« Respuesta #2 : 01/11/2017, 12:32:29 pm »

Si, pero en tu ejemplo [texx]r=2[/texx]. En todo caso la subaditividad de [texx]f[/texx] no cumple el punto b).
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« Respuesta #3 : 24/11/2017, 10:33:18 am »

Hola

Hay un teorema que dice, adjunto, que para una función [texx]f(x)[/texx] creciente y cóncava-convexa entonces es subaditiva sys [texx]min\left\{{f(x)+f(1-x)}\right\}\geq{}f(1)[/texx] para todo [texx]x\in{}[0,1][/texx].

Me interesa estudiar la subaditividad usando ese teorema para las siguientes funciones:

a) [texx]f(x)=\displaystyle\frac{x^a}{(x^a+(1-x)^a)^{1/a}}[/texx] con [texx]0<a\leq{}1[/texx] y [texx]x \in[0,1][/texx]

b) [texx]f(x)=\displaystyle\frac{x^a}{(x^a+(1-x)^a)^{b}}[/texx] con [texx]0<a\leq{}1[/texx], [texx]b>0[/texx] y [texx]x \in[0,1][/texx]

Empiezo haciendo el segundo caso, pues parece ser un caso más general que el primero. Primero analizo si es creciente, ahí me da que lo es si es positiva la expresión

[texx]x^a(1-b)+(1-x^a)(\displaystyle\frac{bx}{1-x}+1)[/texx].

Es decir si [texx]b<1[/texx] seguro es creciente. Para saber si es cóncava-convexo, la expresión es horrible. 

Saludos

* superadditive.pdf (425.87 KB - descargado 9 veces.)
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« Respuesta #4 : 03/12/2017, 06:29:11 pm »


Sea [texx]w(p)=e^{-\beta(-\ln p)^{\alpha},} [/texx] con [texx]w(0)=0,w(1)=1[/texx] y [texx]\alpha>0, \beta>0.[/texx]

1) Mi primera pregunta es si esta función tiene un punto de inflexión en
[texx]p=\exp\left\{  -\left(  \frac{\left(  \alpha-1\right)  }{\alpha}\frac{1}{\beta
}\right)  ^{1/\alpha}\right\} [/texx] con [texx] \alpha<1.[/texx]

2) La segunda es si esta función es subaditiva, para todo [texx]p \in [0,1][/texx]  si [texx]\beta<\ln(2)^{1-\alpha}[/texx] (creo que además debo suponer que [texx]\alpha<1.[/texx]).

3) Ahora supongamos que [texx]\beta>\ln(2)^{1-\alpha}[/texx], tengo que encontrar el mayor intevalo [texx][0,c][/texx] tal que [texx]w[/texx] sea subaditiva para los [texx]p \in [0,c][/texx]. Me parece que ese valor [texx]c[/texx] (hallaremos un valor [texx]c[/texx] menor o igual a algo) es el que resuelve la desigualdad

[texx]2e^\left\{{-\beta( -\ln(c/2)) ^\left\{{\alpha}\right\}}\right\}>e^{-\beta(-\ln c)^{\alpha}}[/texx]

Saludos
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« Respuesta #5 : 04/12/2017, 09:10:41 am »

Hola

Sea [texx]w(p)=e^{-\beta(-\ln p)^{\alpha},} [/texx] con [texx]w(0)=0,w(1)=1[/texx] y [texx]\alpha>0, \beta>0.[/texx]

1) Mi primera pregunta es si esta función tiene un punto de inflexión en
[texx]p=\exp\left\{  -\left(  \frac{\left(  \alpha-1\right)  }{\alpha}\frac{1}{\beta
}\right)  ^{1/\alpha}\right\} [/texx] con [texx] \alpha<1.[/texx]

El término [texx]\left(  \frac{\left(  \alpha-1\right)  }{\alpha}\frac{1}{\beta
}\right)[/texx] para [texx]\alpha<1[/texx] da negativo. Una potencia no entera de un número negativo da en general un número complejo. Eso ya da una pista de que algo está mal ahi.

De hecho si uno hace las cuentas se ve que no puede hallarse analíticamente donde está el punto de inflexión.

Sea:

[texx]w(p)=e^{f(p)}[/texx] con [texx]f(p)=-\beta(-ln(p))^\alpha[/texx].

Entonces:

[texx]w'(p)=f'(p)e^{f(p)}[/texx]
[texx]w''(p)=(f''(p)+f'(p)^2)e^{f(p)}[/texx]

El punto de inflexión corresponde a la solución de:

[texx]f''(p)+f'(p)^2=0[/texx]

donde:

[texx]f'(p)=\alpha\beta(-ln(p))^{\alpha-1}p^{-1}[/texx]

[texx]f''(p)=-\alpha(\alpha-1)\beta(-ln(p))^{\alpha-2}p^{-2}-\alpha\beta(-ln(p))^{\alpha-1}p^{-2}=\alpha\beta(-ln(p))^{\alpha-2}p^{-2}(1-\alpha+ln(p))[/texx]

y:

[texx]f''(p)+f'(p)^2=\alpha\beta(-ln(p))^{\alpha-2}p^{-2}\left[1-\alpha+ln(p)+\alpha\beta(-ln(p))^\alpha\right][/texx]

Haciendo [texx]y=-ln(p)[/texx], de manera que si [texx]p\in (0,1][/texx] entonces [texx]y\in [0,+\infty)[/texx] la ecuación [texx]f''(p)+f'(p)^2=0[/texx] equivale a resolver:

[texx]\underbrace{\alpha\beta y^{\alpha}-y+1-\alpha}_{h(y)}=0[/texx]      (*)

Es una ecuación pseudopolinómica, porque aparece un exponente [texx]\alpha[/texx] no necesariamente entero y por tanto no puede resolver explícitamente.

Si puede tenerse una resolución explícita en los casos particulares [texx]\alpha=2,3,4[/texx] ó [texx]1/2,1/3,1/4[/texx] donde la ecuación es o equivale a una polinómica de grados [texx]2,3,4[/texx] para los cuales si hay fórmulas explícitas (feas para grados [texx]3[/texx] y [texx]4[/texx]).

Lo que si podemos afirmar analítcamente es:

1) La función siempre tienen un punto de inflexión si [texx]\alpha\neq 1[/texx]:

Para [texx]y=0[/texx], [texx]h(y)=1-\alpha\begin{cases}{ <0}&\text{si}& \alpha>1\\>0 & \text{si}& \alpha<1\end{cases}[/texx].

Para [texx]y=+\infty[/texx], [texx]\displaystyle\lim_{y \to{+}\infty}{}h(y)=\begin{cases}{ +\infty}&\text{si}& \alpha>1\\-\infty & \text{si}& \alpha<1\end{cases}[/texx].

2) Ese punto de inflexión es único. Notamos que [texx]h'(y)=\alpha^2\beta y^{\alpha-1}-1[/texx] que solo se anula en un punto.

- Si [texx]\alpha<1[/texx] entonces [texx]h'(0^+)>0[/texx] y por tanto la función [texx]h(y)[/texx] es creciente hasta un punto y decreciente después en [texx][0,+\infty)[/texx]. Como además [texx]h(0)>0[/texx] y [texx]h(-\infty)<0[/texx] se deduce que tiene un único cero.

- Si [texx]\alpha>1[/texx] entonces [texx]h'(0^+)<0[/texx] y por tanto la función [texx]h(y)[/texx] es decreciente hasta un punto y creciente después en [texx][0,+\infty)[/texx]. Como además [texx]h(0)<0[/texx] y [texx]h(-\infty)<0[/texx] se deduce que tiene un único cero.

3) El punto de inflexión es [texx]p_0=e^{-y_0}[/texx] donde [texx]y_0[/texx] es la única solución de la ecuación (*) (ecuación que no puede ser resuelta explícitamente salvo en ciertos casos particuales).

Saludos.

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« Respuesta #6 : 04/12/2017, 09:35:22 am »

Hola

En un artículo dice que si [texx]\alpha\neq{}1,\beta=1[/texx] entonces el punto de inflexión es [texx]p=e^{-1}[/texx], es así?

Saludos
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« Respuesta #7 : 04/12/2017, 09:41:20 am »

Hola

Cita
En un artículo dice que si [texx]\alpha\neq{}1,\beta=1[/texx] entonces el punto de inflexión es [texx]p=e^{-1}[/texx], es así?

Si. En ese caso la función [texx]h(y)[/texx] es:

[texx]\alpha y^{\alpha}-y+1-\alpha[/texx]

que se anula para [texx]y_0=1[/texx]. Por tanto el punto de inflexión está en [texx]p_0=e^{-y_0}=e^{-1}[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #8 : 05/12/2017, 02:34:01 pm »

Hola

Supongamos que [texx]\alpha<1[/texx] y [texx]\beta=1[/texx]. Entonces, como [texx]w[/texx] es cóncava para [texx]p<e^{-1}[/texx] entonces es subaditiva para todo [texx]p \in [0,1/e][/texx]. Ahora, quiero hallar el máximo intervalo [texx][0,b][/texx] tal que [texx]w[/texx] siga siendo subaditiva, obviamente [texx]b\geq{}1/e[/texx].

Ahora,

[texx]w(p)+w(b-p)=e^{f(p)}+e^{f(1-p)}\geq{}e^{f(b)}[/texx], siendo [texx]f(p)=-(-ln(p))^\alpha[/texx]. Si tomo logaritmo en ambos lados queda

[texx]f(p)f(1-p)\geq{}f(b)[/texx], pero me queda algo así:

[texx]ln(p)ln(b-p)\geq{}ln(b)[/texx] y se cancelan los [texx]b[/texx], pues tendría que quedar algo como [texx]p\leq{}...[/texx].

algo estoy haciendo mal y no me doy cuenta dónde.


Saludos


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« Respuesta #9 : 05/12/2017, 02:53:13 pm »

Hola

Supongamos que [texx]\alpha<1[/texx] y [texx]\beta=1[/texx]. Entonces, como [texx]w[/texx] es cóncava para [texx]p<e^{-1}[/texx] entonces es subaditiva para todo [texx]p \in [0,1/e][/texx]. Ahora, quiero hallar el máximo intervalo [texx][0,b][/texx] tal que [texx]w[/texx] siga siendo subaditiva, obviamente [texx]b\geq{}1/e[/texx].

Ahora,

[texx]w(p)+w(b-p)=e^{f(p)}+e^{f(1-p)}\geq{}e^{f(b)}[/texx], siendo [texx]f(p)=-(-ln(p))^\alpha[/texx]. Si tomo logaritmo en ambos lados queda

[texx]f(p)f(1-p)\geq{}f(b)[/texx], pero me queda algo así:

Pero al aplicar logaritmos no queda eso; está aplicando la propiedad al revés. El logaritmo del producto es la suma de logartimos. Tu haces el logaritmo de la suma es el producto de logaritmos.

Saludos.
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« Respuesta #10 : 05/12/2017, 03:11:14 pm »

Hola

Si, que bestia!!! Tendría que dar algo así como [texx]b=0.97.[/texx]. Entonces seguramente no pueda hallarse una fórmula explícita del [texx]b[/texx], no?

En realidad tengo que probar que el mínimo de [texx]f(x)=w(x)+w(b-x)[/texx] es mayor o igual a [texx]w(b)[/texx]. Si hago la derivada primera de [texx]f(x)[/texx] veo que tiene un punto crítico en [texx]x=b/2[/texx] por lo tanto, tengo que evaluar

[texx]2f(b/2)\geq{}f(b)[/texx], como que volví al principio.

Se ve que la solución es numérica, lo probé en el Mathematica, adjunto.


Saludos

* SolNum.pdf (189.43 KB - descargado 4 veces.)
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« Respuesta #11 : 05/12/2017, 03:43:29 pm »

Hola

En realidad tengo que probar que el mínimo de [texx]f(x)=w(x)+w(b-x)[/texx] es mayor o igual a [texx]w(b)[/texx]. Si hago la derivada primera de [texx]f(x)[/texx] veo que tiene un punto crítico en [texx]x=b/2[/texx] por lo tanto, tengo que evaluar

[texx]2f(b/2)\geq{}f(b)[/texx], como que volví al principio.

Desde luego [texx]b/2[/texx] siempre es punto crítico de [texx]f(x)[/texx]. Hay que asegurar que no hay más, o al menos que es el único que da el mínimo.

Pero la condición sería:

[texx]2w(b/2)\geq w(b)[/texx]

¿No?.

Saludos.
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« Respuesta #12 : 05/12/2017, 03:47:12 pm »

Si, de acuerdo.
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« Respuesta #13 : 05/12/2017, 04:06:30 pm »

Hola

1) De todas formas, para [texx]\alpha<1,[/texx] [texx]w[/texx] es subaditiva en [texx][0,1][/texx] para todo [texx]\beta\leq{}(ln2)^{1-\alpha},[/texx] no?.

2) Para el caso, [texx]\alpha<1, \beta>(ln2)^{1-\alpha},[/texx] la función es subaditiva en [texx][0,b][/texx] siendo [texx]b[/texx] el único valor que resuelve la ecuación [texx]2w(b/2)=w(b),[/texx] no?.

Saludos
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« Respuesta #14 : 07/12/2017, 08:11:09 am »

Hola

1) De todas formas, para [texx]\alpha<1,[/texx] [texx]w[/texx] es subaditiva en [texx][0,1][/texx] para todo [texx]\beta\leq{}(ln2)^{1-\alpha},[/texx] no?.

2) Para el caso, [texx]\alpha<1, \beta>(ln2)^{1-\alpha},[/texx] la función es subaditiva en [texx][0,b][/texx] siendo [texx]b[/texx] el único valor que resuelve la ecuación [texx]2w(b/2)=w(b),[/texx] no?.

Si en ambos casos; pero falta demostrar que efectivamente  [texx]b/2[/texx] (con [texx]b=1[/texx] en el primer caso), es el punto donde la función [texx]w(p)+w(b-p)[/texx] toma el mínimo. Es claro que [texx]p=1/2[/texx] es un punto crítico. ¿Pero ese el único?.

Saludos.
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« Respuesta #15 : 07/12/2017, 03:01:41 pm »

Hola

Si, para [texx]\alpha=0.5, \beta=0.6[/texx] el gráfico de [texx]w(p)+w(1-p)[/texx] da como el adjunto.  De todas formas parece ser cierto que para [texx]\beta\leq{}ln(2)^{1-\alpha}[/texx] la función es subaditiva en [texx][0,1].[/texx]

Saludos

* g1.pdf (11.75 KB - descargado 6 veces.)
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« Respuesta #16 : 21/12/2017, 09:15:26 am »

Hola

 No acabo de encontrarle la vuelta. Me centro en el caso [texx]\beta=1[/texx].

 Sea:

[texx] g(p)=w(p)+w(1-p)[/texx]

 Recordemos que para [texx]p<e^{-1}[/texx] se tiene que [texx]w''(p)<0[/texx] y para [texx]p>e^{-1}[/texx] se tiene que [texx]w''(p)>0[/texx].

 Cosas que si se pueden demostrar analíticamente:

 1) [texx]1/2[/texx] es un mínimo local de [texx]g[/texx]. Es claro que se anula la derivada [texx]g'(1/2)[/texx] y [texx]g''(1/2)=w''(1/2)>0[/texx].
 2) En el intervalo [texx][e^{-1},1-e^{-1}][/texx] ese mímimo es global, porque [texx]g''(p)=w''(p)+w''(p)[/texx] es suma de positivos: positivo.

 Queda probar entonces que en [texx]p\in [0,e^{-1}][/texx] no se alcanza una valor menor que [texx]g(1/2)[/texx]. Es lo que no acabo de conseguir.

 De los gráficos parece que si en ese intervalo hay un punto crítico, necesariamente es un máximo. Se podría intentar probarlo, pero no soy capaz.

 Otro intento sería probar direcatmente a mano que [texx]p\in [0,e^{-1}][/texx],[texx] \color{red}g(p)>g(1/2)\color{black}[/texx], pero tampoco me sale.

 Un gráfico de la situación:


Saludos.

CORREGIDO

* sub2.ggb (16.5 KB - descargado 57 veces.)
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« Respuesta #17 : 21/12/2017, 10:29:40 am »

Hola

Creo que tienes erratas, en una parte hablas de máximos, además habría que probar que [texx]g(p)>g(1/2)[/texx], para [texx]p\in [0,e^{-1}][/texx].  Además, la derivada primera de [texx]g(p)[/texx] no es decreciente en ese intervalo? Probé en Mathematica y -ésta queda una expresión del estilo [texx]\displaystyle\frac{m(1-p)}{p-1}+\displaystyle\frac{m(p)}{p}[/texx]

Además, si [texx]\beta=1[/texx] el punto de inflexión se da cuando [texx]g(p)=p=\displaystyle\frac{1}{e}[/texx].

En un artículo se dice que el máximo intervalo de subaditividad que definimos con [texx][0,2q][/texx] con [texx]q[/texx] tal que [texx]w(2q)=2w(q)[/texx]. Vamos a suponer que el mínimo se da cuando [texx]q=1/2[/texx] o [texx]q=1[/texx] es cierta esa afirmación?

Además, necesitaría hacer el mismo análisis para

[texx]w(p)=\frac{p^a}{(p^a+(1-p)^a)^b}[/texx] con [texx]0<a<1,b>0[/texx]

Saludos
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« Respuesta #18 : 21/12/2017, 11:53:48 am »

Hola

Cita
Creo que tienes erratas, en una parte hablas de máximos, además habría que probar que [texx]g(p)>g(1/2)[/texx], para [texx]p\in [0,e^{-1}][/texx].

Si esa es la única errata (creo). Quería decir que habría que probar que [texx]g(p)>g(1/2)[/texx].

En otro sitio lo que dije es que habría que probar que los puntos críticos distintos del [texx]1/2[/texx], si los hay, son máximos (como parece en las gráficas) y no mínimos.

Cita
  Además, la derivada primera de [texx]g(p)[/texx] no es decreciente en ese intervalo?


¿En qué intervalo?¿En [texx][0,e^{-1}][/texx]?. No. No lo es. Se puede ver gráficamente:

Cita
Probé en Mathematica y queda una expresión del estilo [texx]\displaystyle\frac{m(1-p)}{1-p}-\displaystyle\frac{m(p)}{p}[/texx]

La derivada es (en verde):


[texx]g'(p)=f'(p)e^{f(p)}-f'(1-p)e^{f(1-p)}[/texx]

con [texx]f(p)=-(-ln(p))^\alpha[/texx] y [texx]f'(p)=\alpha(-ln(p))^{\alpha-1}p^{-1}[/texx]

En tu expresión no sé a que estás llamando [texx]m(p)[/texx].

Cita
Además, si [texx]\beta=1[/texx] el punto de inflexión se da cuando [texx]g(p)=p=\displaystyle\frac{1}{e}[/texx].

Si; es lo que estoy usando, que el punto de inflexión de [texx]w(p)[/texx] es en [texx]p=e^{-1}=1/e[/texx].

Cita
En un artículo se dice que el máximo intervalo de subaditividad que definimos con [texx][0,2q][/texx] con [texx]q[/texx] tal que [texx]w(2q)=2w(q)[/texx]. Vamos a suponer que el mínimo se da cuando [texx]q=1/2[/texx] o [texx]q=1[/texx] es cierta esa afirmación?

No veo que el mínimo se de en [texx]q=1[/texx] en ningún caso.

Por otra parte si efectivamente el mínimo esta ahí, la condición del "hombre este" (no me acuerdo del nombre,  :cara_de_queso:) es que:

[texx]2w(1/2)\geq w(1)=1[/texx]

Pero [texx]w(1/2)=e^{-(-ln(1/2))^\alpha}=e^{-ln(2)^\alpha}[/texx]

emm... y esto no se cumple...

Es decir para [texx]\beta=1[/texx] no es subaditivia en [texx][0,1][/texx].

Entonces no vale de nada todo el estudio que hice (con pobres resultados).  :indeciso:

Lo que hay que hacer es estudiar [texx]g(p)=w(p)+w(b-p)[/texx].

Saludos.

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« Respuesta #19 : 21/12/2017, 12:14:31 pm »

Debemos mostrar que para [texx][0,1][/texx] la función es subaditiva siempre que [texx]\beta\leq{}(ln2)^{1-\alpha}[/texx] y en el caso que [texx]\beta>(ln2)^{1-\alpha}[/texx] hallar el máximo [texx]b[/texx] tal que sea subaditiva en [texx][0,b].[/texx]

No se puede probar que en [texx]p+1/2[/texx] la derivada segunda es negativa y hacia la izquierda ésta es decreciente, y de alguna forma que hay solamente un punto crítico hacia la izquierda y por lo tanto es un máximo.

Yo probé que si tomás [texx]\alpha=0.9=\beta[/texx] entonces el mínimo de [texx]g(p)[/texx] se da para [texx]p=1[/texx] y de hecho la función es cóncava y en [texx]p=1/2[/texx] tendría un máximo y no un mínimo y el [texx]b[/texx] daría algo cercano a 0.99, como uso planilla electrónica no me deja aproximarlo más. Y creo que tampoco se cumple eso que [texx]b=2q[/texx].
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