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Autor Tema: Espacio dual  (Leído 149 veces)
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JackJack
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« : 22/10/2017, 07:34:52 pm »

Saludos,
Alguien puede ayudarme con un ejemplo de un elemento del dual de [texx]l^\infty[/texx]
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 23/10/2017, 05:06:07 am »

Hola

Saludos,
Alguien puede ayudarme con un ejemplo de un elemento del dual de [texx]l^\infty[/texx]

Es cualquier funcional lineal acotado:

[texx]f:l^\infty\to \mathbb{R}[/texx]

Por ejemplo [texx]f(\{x_n\})=x_1[/texx]

Saludos.
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JackJack
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« Respuesta #2 : 11/11/2017, 08:23:20 pm »

Gracias, otra duda, se que [texx](l^{\infty})'\neq{l_1}[/texx] como puedo justificar que aquel [texx]f:l^{\infty}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] no está en [texx]l_1[/texx]. Es decir, que una sucesion en [texx]l^1[/texx] no define un elemento [texx]g\in (l^{\infty})'[/texx]
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 12/11/2017, 07:02:56 am »

Hola

Gracias, otra duda, se que [texx](l^{\infty})'\neq{l_1}[/texx] como puedo justificar que aquel [texx]f:l^{\infty}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] no está en [texx]l_1[/texx]. Es decir, que una sucesion en [texx]l^1[/texx] no define un elemento [texx]g\in (l^{\infty})'[/texx]

Hay que tener un poco de cuidado en esa cuestión.

La igualdad "tal cual" es obvia que no se da por que [texx](l^\infty)^*[/texx] y [texx]l_1[/texx] son "objetos" diferentes: el primero funciones lineales acotadas del espacio de sucesiones acotadas en [texx]\mathbb{R}[/texx] el segundo sucesiones absolutamente convergentes.

Ahora bien, hay una forma natural de manipular [texx]l_1 [/texx]como subespacio de [texx](l^\infty)^*[/texx] y es dada [texx]\{x_n\}\in l^1[/texx] definir el elemento de [texx](l^\infty)^*[/texx]:

[texx]f:l^\infty\to \mathbb{R},\quad f(\{y_n\})=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}x_ny_n[/texx]

 Lo que se cumple es que [texx]l_1[/texx] así "metido" dentro de [texx](l^\infty)^*[/texx] es un subespacio propio, no "llena" todo [texx](l^\infty)^*[/texx].

Incluso se puede probar algo más fuerte y es que [texx]l_1[/texx] y [texx](l^\infty)^*[/texx] son espacios de Banach NO isomorfos, de manera que no hay ninguna manera posible de definir un isomorfismo entre ambos. La clave está en que el primero es separable y el segundo no.

 Ambas cosas están demostradas aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/868787/dual-of-l-infty-is-not-l1

Saludos.
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« Respuesta #4 : 13/11/2017, 04:34:29 pm »

Muchas Gracias, me quedó más claro el sentido de esa "igualdad".

Una cosa más. Se que el dual de [texx]l^{\infty}[/texx]  es el espacio de las medidas de Borel [texx]C(β\mathbb{N})[/texx], pero aún no veo tan claro como los puedo relacionar.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #5 : 14/11/2017, 07:02:30 am »

Hola

Muchas Gracias, me quedó más claro el sentido de esa "igualdad".

Una cosa más. Se que el dual de [texx]l^{\infty}[/texx]  es el espacio de las medidas de Borel [texx]C(β\mathbb{N})[/texx], pero aún no veo tan claro como los puedo relacionar.

No entiendo cuál es tu duda o pregunta exacta. ¿Qué es lo que no sabes como relacionar?.

En este artículo está explicado en general la construcción del isomorfismo entre espacios de funciones continuas y la compactificación de Stone-Cech.

https://pdfs.semanticscholar.org/a398/1ffd9f8f2a0a68e0f15b905b6965f4242001.pdf

Saludos.
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« Respuesta #6 : 14/11/2017, 02:59:42 pm »

Muchas gracias por el aporte.

Si, tal vez no me expliqué bien.

La duda es que cada funcional lineal acotado y continuo [texx]f \in{(l^\infty)'}[/texx]es una medida de Borel. Es eso correcto?
Y si es correcto, Por qué?

Esa es mi duda
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Luis Fuentes
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« Respuesta #7 : 15/11/2017, 07:35:35 am »

Hola

 Mira el capítulo 15 del libro adjunto.

Saludos.

* A_Short_Course_on_Banach_Space_Theory.pdf (976.11 KB - descargado 3 veces.)
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