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Autor Tema: Traslaciones  (Leído 524 veces)
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JackJack
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« : 25/11/2017, 11:14:38 pm »

Saludos,

Necesito una pequeña ayuda con el siguiente problema

Tengo [texx](E, \left\|{.}\right\|)[/texx]  un espacio vectorial normado, tengo [texx]A\subset{E}[/texx] un conjunto abierto y conexo. Me dicen que puedo suponer que [texx]0\in A[/texx] gracias a la traslación de abiertos y conexos. Pero, es correcto? Por qué?
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Tanius
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« Respuesta #1 : 26/11/2017, 01:10:35 am »

Saludos,

Necesito una pequeña ayuda con el siguiente problema

Tengo [texx](E, \left\|{.}\right\|)[/texx]  un espacio vectorial normado, tengo [texx]A\subset{E}[/texx] un conjunto abierto y conexo. Me dicen que puedo suponer que [texx]0\in A[/texx] gracias a la traslación de abiertos y conexos. Pero, es correcto? Por qué?

Si [texx]A[/texx] es no vacío, digamos [texx]a\in A[/texx], entonces el conjunto

[texx]A-a:=\left\{{a'-a:a'\in A}\right\}[/texx]

tiene las "mismas" propiedades que [texx]A[/texx] y claramente contiene al [texx]0[/texx]. Esto es porque la función [texx]x\mapsto x-a[/texx] (que es una traslación) es un homeomorfismo por ser [texx]E[/texx] normado. La imagen de [texx]A[/texx] bajo dicha función es [texx]A-a[/texx], y entonces uno es abierto (o conexo) si y sólo si el otro lo es. Adicionalmente, dicha función es una isometría por lo que ambos conjuntos tienen el mismo diámetro. Más aún, esa función es afín, por lo que la convexidad también se preserva de esta forma.

Entre otras cosas.
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« Respuesta #2 : 26/11/2017, 11:05:45 am »

Gracias , pero aún no me queda tan claro.

Lo que estaría diciendo es que [texx]0\in A-a[/texx]. Realmente estaría trabajando con el conjunto [texx]A-a[/texx] y no directamente con [texx]A[/texx] .Es gracias a la funcion traslación [texx]T_a:A\longrightarrow{A-a}[/texx] tal que para cada [texx]x\in A, T_a (x)=x-a[/texx],  que es un homeomorfismo entre [texx]A[/texx]  y [texx]A-a[/texx], que puedo concluir que si se cumple algo en [texx]A-a[/texx] también se cumple en [texx]A[/texx] .

Es correcto?
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« Respuesta #3 : 26/11/2017, 06:12:47 pm »

Gracias , pero aún no me queda tan claro.

Lo que estaría diciendo es que [texx]0\in A-a[/texx]. Realmente estaría trabajando con el conjunto [texx]A-a[/texx] y no directamente con [texx]A[/texx] .Es gracias a la funcion traslación [texx]T_a:A\longrightarrow{A-a}[/texx] tal que para cada [texx]x\in A, T_a (x)=x-a[/texx],  que es un homeomorfismo entre [texx]A[/texx]  y [texx]A-a[/texx], que puedo concluir que si se cumple algo en [texx]A-a[/texx] también se cumple en [texx]A[/texx] .

Es correcto?

Sí, exactamente. En otras palabras basta demostrar que uno de los dos conjuntos tiene alguna propiedad para concluir que el otro también la tiene. Un homeomorfismo preserva todas las propiedades topológicas (abiertos, conexos, etc.)
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