16/09/2019, 09:38:45 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Homenaje a NUMERARIUS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Hallar el radio  (Leído 539 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Michel
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 6.013


Ver Perfil
« : 03/10/2017, 04:47:10 am »

En el triángulo equilátero ABC, de lado 20 cm, hay dos circunferencias iguales tangentes entre sí y tangentes a los lados, como indica.
Hallar los ángulos del triángulo DEF y el radio de las circunferencias.


* HALLAR_EL_RADIO_copia.ggb (3.88 KB - descargado 71 veces.)
En línea

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker
hméndez
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Venezuela Venezuela

Mensajes: 351


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 04/10/2017, 03:16:52 am »

En el triángulo equilátero ABC, de lado 20 cm, hay dos circunferencias iguales tangentes entre sí y tangentes a los lados, como indica.
Hallar los ángulos del triángulo DEF y el radio de las circunferencias.




Por ser circunferencias iguales  tangentes entre sí y tangentes a los lados del triángulo, la ceviana CG
que pasa por D (punto de tangencia) es una altura, mediana, bisectriz y mediatriz del triangulo ABC y
por tanto el triángulo ACG es rectángulo en G y ademas notable (30-60-90). Si el lado AC vale [texx]20[/texx] cm.
AG vale [texx]10[/texx] cm. y GC vale [texx]10\sqrt[ ]{3}[/texx] cm. y tenemos por Poncelet que su inradio vale:

[texx]r=\displaystyle\frac{10+10\sqrt[ ]{3}-20}{2}[/texx]

[texx]r=5\sqrt[ ]{3}-5[/texx] cm.  (radio de las circunferencias).

Respecto a los ángulos observamos que:

1. Los ángulos FDE, DEF, EFD están inscritos en la circunferencia y subtienden los arcos EF, FD, DE respectivamente.
2. Los ángulos CAG, AGC, GCA son exteriores con lados tangentes a la circunferencia determinando respectivamente
    los arcos anteriormente mencionados, por tanto se sabe que estos son suplementarios, así tenemos:
   
    Arco EF es suplemento de [texx]60°[/texx] [texx]\longrightarrow{120°}[/texx]
    Arco FD es suplemento de [texx]90°[/texx] [texx]\longrightarrow{90°}[/texx]
    Arco DE es suplemento de [texx]30°[/texx] [texx]\longrightarrow{150°}[/texx]

Los ángulos FDE, DEF, EFD valen respectivamente la mitad de los anteriores [texx](60°, 45°, 75°)[/texx] por lo dicho en (1).



Nota: Esto se pudo haber justificado usando otro tipo de argumentación como por ejemplo, observando que allí tenemos
         cuadriláteros inscriptibles y que sus ángulos opuestos deben ser suplementarios.

Saludos.

* Triangulo123.png (49.87 KB - descargado 69 veces.)
En línea
Ignacio Larrosa
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.244


Ver Perfil WWW
« Respuesta #2 : 04/10/2017, 02:09:08 pm »

Mi solución es muy similar a la de Heriberto:



[texx]\triangle AFE\textrm{ y }\triangle FMD[/texx] son isósceles por la igualdad de longitudes de las tangentes de un punto a una circunferencia. Como [texx]\angle FAE = 60^\circ{}\textrm{ y }\angle DMC = 90^\circ{}[/texx], se deduce que [texx]\angle EFA = 60^\circ{}\textrm{ y que }\angle BFD = 45^\circ{}, \angle EDF = \angle EFA\textrm{ y }\angle DEF = \angle BFD[/texx] pues son ángulos inscritos y semiinscritos abarcando el mismo arco.


Como [texx]CD = CE\textrm{ y }AF = AE, 2r = AM + CD - AB = 10 + 10\sqrt[ ]{3} - 20 = 10(\sqrt[ ]{3} - 1), r = 5(\sqrt[ ]{3} - 1) cm[/texx]. En general, si el lado es [texx]a[/texx], el radio de las circunferencias es [texx]r = \displaystyle\frac{a}{4} (\sqrt[ ]{3}-1)[/texx].


Solo destacar que puede inscribirse otra circunferencia de igual radio, tangente a estas dos y a los lados [texx]AC\textrm{ y }BC[/texx] del triángulo.

Saludos,
En línea

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!