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Autor Tema: Pie de la altura  (Leído 699 veces)
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Michel
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« : 26/09/2017, 04:43:24 am »

En un triángulo ABC sea D el pie de la altura trazada desde A.
Demostrar que [texx]AD=\displaystyle\frac{b.c}{2R}[/texx], siendo R el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.
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« Respuesta #1 : 26/09/2017, 10:32:25 pm »

En un triángulo ABC sea D el pie de la altura trazada desde A.
Demostrar que [texx]AD=\displaystyle\frac{b.c}{2R}[/texx], siendo R el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Observando la figura adjunta tenemos lo siguiente:

1. El triángulo ABC y su circunferencia circunscrita.
2. El triángulo inscrito AEC , cuyo lado AE es un diámetro de la circunferencia y por tanto es recto en C. De esto se
    deduce fácilmente que los triángulos AEC y ABD son semejantes por ser rectángulos, con ángulo en E y B iguales
    pues abarcan un mismo arco de circunferencia (arco CA).

Triangulos:

[texx]ABD\sim{AEC}[/texx]

[texx]\displaystyle\frac{AD}{b}=\displaystyle\frac{c}{2R}[/texx]

[texx]AD=\displaystyle\frac{b\times{c}}{2R}[/texx]



Saludos.

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Michel
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« Respuesta #2 : 27/09/2017, 12:26:32 pm »

De acuerdo hméndez.

Que sigamos colaborando.

Un saludo.
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #3 : 27/09/2017, 01:25:26 pm »

Una de las críticas clásicas a los métodos sintéticos es que las figuras pueden ser engañosas y no representar todas las situaciones posibles. Pero para eso está la ¡Geometría Dinámica al rescate!   :risa: :risa:

En el siguiente applet de GeoGebra pueden dasplazarse los vértices [texx]A, B\textrm{ y }C[/texx]. Si [texx]\angle C > 90^\circ{}[/texx], la justificación de Heriberto de que [texx]\triangle CDA \sim{}\triangle C'BA[/texx] debe modificarse. Pero eso con GeoGebra no es ningún problema hacerlo en la misma construcción. Faltaría el caso en que [texx]\angle C = 90^\circ{}[/texx], pero con permiso de Michel  :sonrisa:, ese es trivial.


Saludos dinámicos,
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« Respuesta #4 : 27/09/2017, 09:26:32 pm »

De acuerdo hméndez.

Que sigamos colaborando.

Un saludo.

¡Con gusto Michel!

Saludos
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« Respuesta #5 : 27/09/2017, 10:35:01 pm »

Una de las críticas clásicas a los métodos sintéticos es que las figuras pueden ser engañosas y no representar todas las situaciones posibles. Pero para eso está la ¡Geometría Dinámica al rescate!   :risa: :risa:

En el siguiente applet de GeoGebra pueden dasplazarse los vértices [texx]A, B\textrm{ y }C[/texx]. Si [texx]\angle C > 90^\circ{}[/texx], la justificación de Heriberto de que [texx]\triangle CDA \sim{}\triangle C'BA[/texx] debe modificarse. Pero eso con GeoGebra no es ningún problema hacerlo en la misma construcción. Faltaría el caso en que [texx]\angle C = 90^\circ{}[/texx], pero con permiso de Michel  :sonrisa:, ese es trivial.


Saludos dinámicos,

Tienes razón Ignacio, ...

En un triángulo ABC sea D el pie de la altura trazada desde A.
Demostrar que [texx]AD=\displaystyle\frac{b.c}{2R}[/texx], siendo R el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Observando la figura adjunta tenemos lo siguiente:

1. El triángulo ABC y su circunferencia circunscrita.
2. El triángulo inscrito AEC , cuyo lado AE es un diámetro de la circunferencia y por tanto es recto en C. De esto se
    deduce fácilmente que los triángulos AEC y ABD son semejantes por ser rectángulos, con ángulo en E y B iguales
    pues abarcan un mismo arco de circunferencia (arco CA).

Triangulos:

[texx]ABD\sim{AEC}[/texx]

[texx]\displaystyle\frac{AD}{b}=\displaystyle\frac{c}{2R}[/texx]

[texx]AD=\displaystyle\frac{b\times{c}}{2R}[/texx]



Saludos.

Creo que así no hace falta considerar casos (revisalo por favor):

Observando la figura adjunta tenemos lo siguiente:

1. El triángulo ABC y su circunferencia circunscrita.
2. El triángulo inscrito AEC , cuyo lado AE es un diámetro de la circunferencia y por tanto es recto en C. De esto se
    deduce fácilmente que los triángulos AEC y ABD son semejantes por ser rectángulos, con ángulo EAC y DAB iguales
    pues al ser AE diámetro de la circunferencia que contiene a A y AD la altura del triangulo correspondiente al vértice A
    estos segmentos son isogonales conjugados del angulo BAC.

Saludos.


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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #6 : 28/09/2017, 04:27:28 am »


Creo que así no hace falta considerar casos (revisalo por favor):

Observando la figura adjunta tenemos lo siguiente:

1. El triángulo ABC y su circunferencia circunscrita.
2. El triángulo inscrito AEC , cuyo lado AE es un diámetro de la circunferencia y por tanto es recto en C. De esto se
    deduce fácilmente que los triángulos AEC y ABD son semejantes por ser rectángulos, con ángulo EAC y DAB iguales
    pues al ser AE diámetro de la circunferencia que contiene a A y AD la altura del triangulo correspondiente al vértice A
    estos segmentos son isogonales conjugados del angulo BAC.


Si, así no hay que considerar casos separados. Pero hay que recurrir al resultado menos inmediato de la conjugación isogonal de radios y alturas, que exige, por lo menos a mi, considerar varias situaciones: Circuncentro y Ortocentro son conjugados isogonales

Saludos,
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