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Autor Tema: Relación de recurrencia de una sucesión  (Leído 1010 veces)
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Julio_fmat
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« : 26/09/2017, 04:28:56 am »

Hola, buenos días... Quisiera saber si alguien conoce esta página http://oeis.org/. Necesito encontrar una relación de recurrencia de la forma [texx]u_{n+2}=\alpha u_{n+1}+\beta u_n+\gamma[/texx], sabiendo que [texx]u_n=\dfrac{(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n}{2}-1[/texx] con [texx]n\in \mathbb{N}.[/texx] Calcule además, [texx]\alpha,\beta,\gamma.[/texx]

Bueno, la verdad es que yo entro a la pagina y aparece una barra, luego uno ingresa la sucesión, apreto enter y me arroja una serie de datos y de información histórica de matemáticos que supuestamente han investigado esa sucesión, pero la verdad es que esa información no me es relevante, ya que no es lo que ando buscando... No se si Wolfram Alpha también da una relación de recurrencia, pero la verdad es que no se que comando ingresar si pensara hacerlo así.
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"Haz de las Matemáticas tu pasión".
Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 26/09/2017, 04:40:24 am »

Hola

Hola, buenos días... Quisiera saber si alguien conoce esta página http://oeis.org/. Necesito encontrar una relación de recurrencia de la forma [texx]u_{n+2}=\alpha u_{n+1}+\beta u_n+\gamma[/texx], sabiendo que [texx]u_n=\dfrac{(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^2}{2}-1[/texx] con [texx]n\in \mathbb{N}.[/texx] Calcule además, [texx]\alpha,\beta,\gamma.[/texx]

Bueno, la verdad es que yo entro a la pagina y aparece una barra, luego uno ingresa la sucesión, apreto enter y me arroja una serie de datos y de información histórica de matemáticos que supuestamente han investigado esa sucesión, pero la verdad es que esa información no me es relevante, ya que no es lo que ando buscando... No se si Wolfram Alpha también da una relación de recurrencia, pero la verdad es que no se que comando ingresar si pensara hacerlo así.

No hace falta usar un programa de computación para hallar la relación.

En general si tienes:

[texx]a_n=A\alpha_1^n+B\alpha_2^n[/texx]

con [texx]\alpha_1,\alpha_2[/texx] raíces de un polinomio [texx]x^2+px+q=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)[/texx] entonces la sucesión cumple la relación:

[texx]a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0[/texx]

Entonces en tu caso toma:

[texx]a_n=u_n+1=\dfrac{1}{2}(2+\sqrt{3})^n+\dfrac{1}{2}(2-\sqrt{3})^n[/texx]

Tienes que:

[texx](x-(2+\sqrt{3}))(x-(2-\sqrt{3}))=(x-2)^2-3=x^2-4x+1[/texx]

Por tanto:

[texx]a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n=0[/texx]

Finalmente sustituye [texx]a_n=u_n+1[/texx].

Saludos.
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Julio_fmat
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« Respuesta #2 : 26/09/2017, 04:44:01 am »

Lo encontré... En FORMULA, la relación de recurrencia es debida a Richard R. Forberg, y se tiene [texx]a_n=4a_{n-1}-a_{n-2}+2.[/texx] Haciendo un cambio de argumentos, tenemos que [texx]u_{n+2}=4u_{n+1}-u_n+2[/texx], de donde [texx]\alpha=4,\beta=-1,\gamma=2.[/texx]

Igual hay que leerse toda esa información...

Saludos.

Edit.: Gracias el_manco, voy a ver como hacerlo como dices.
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #3 : 26/09/2017, 05:01:41 am »

Hola, buenos días... Quisiera saber si alguien conoce esta página http://oeis.org/. Necesito encontrar una relación de recurrencia de la forma [texx]u_{n+2}=\alpha u_{n+1}+\beta u_n+\gamma[/texx], sabiendo que [texx]u_n=\dfrac{(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^2}{2}-1[/texx] con [texx]n\in \mathbb{N}.[/texx] Calcule además, [texx]\alpha,\beta,\gamma.[/texx]

Es una página muy conocida. Pero está pensada para usarse más bien al contrario, se introducen una serie de términos de la sucesión de enteros y da todas las sucesiones que tiene almacenada que los contienen, con mucha información sobre ellas.

Bueno, la verdad es que yo entro a la pagina y aparece una barra, luego uno ingresa la sucesión, apreto enter y me arroja una serie de datos y de información histórica de matemáticos que supuestamente han investigado esa sucesión, pero la verdad es que esa información no me es relevante, ya que no es lo que ando buscando... No se si Wolfram Alpha también da una relación de recurrencia, pero la verdad es que no se que comando ingresar si pensara hacerlo así.

Para obtener una ley de recurrencia a partir de esa fórmula explícita, en la que supongo que el segundo exponente también es [texx]n[/texx],, podemos primero buscar la de una sucesión recurrente homogénea, considerando

[texx]v_n = u_n + 1 =\dfrac{1}{2}(2+\sqrt{3})^n+\dfrac{1}{2}(2-\sqrt{3})^n[/texx]

Esta fórmula explícita corresponde a una sucesión recurrente homogénea de segundo orden, de ecuación característica

[texx](r - (2+\sqrt{3}))(r - (2-\sqrt{3})) = r^2 - 4r + 1 = 0 \;\Longleftrightarrow{}\;r^2 = 4r - 1[/texx]

Esta sucesión verifica entonces la relación de recurrencia

[texx]v_{n+2} = 4\cdot{}v_{n+1} - v_n[/texx]

Volviendo a [texx]u_n[/texx],

[texx]u_{n+2} + 1 = 4(u_{n+1} + 1) - (u_n + 1) \;\Longrightarrow{}[/texx]

[texx]u_{n+2} = 4u_{n+1}  - u_n + 2 [/texx]

Los dos valore iniciales que se necesitan para completar su definición se obtienen de la fórmula explícita. Por ejemplo,

[texx]u_0 = 0, u_1 = 1[/texx]

Saludos,


P.S.: No había visto las respuestas anteriores ...
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« Respuesta #4 : 26/09/2017, 06:54:10 am »

Lo encontré... En FORMULA, la relación de recurrencia es debida a Richard R. Forberg, y se tiene [texx]a_n=4a_{n-1}-a_{n-2}+2.[/texx] Haciendo un cambio de argumentos, tenemos que [texx]u_{n+2}=4u_{n+1}-u_n+2[/texx], de donde [texx]\alpha=4,\beta=-1,\gamma=2.[/texx]

Igual hay que leerse toda esa información...

Saludos.

Edit.: Gracias el_manco, voy a ver como hacerlo como dices.

¿Qué es FORMULA Julio? He intentado buscar por google una página así pero no he encontrado nada.

EDICIÓN: ok, parece ser un subapartado de la información que deja OEIS.
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